Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68264 / 65768
↖ ↑ ↗
← S  0.637194°
E  7.492676°		 ← 305.41 m → S  0.637194°
E  7.495422°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.639941°
E  7.492676°		 ← 305.41 m →
93 279 m²		 S  0.639941°
E  7.495422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520816802978516 y=0.501773834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520816802978516 × 217)
    floor (0.520816802978516 × 131072)
    floor (68264.5)     		tx = 68264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501773834228516 × 217)
    floor (0.501773834228516 × 131072)
    floor (65768.5)     		ty = 65768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68264 / 65768 ti = "17/68264/65768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68264/65768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68264 ÷ 217
    68264 ÷ 131072     		x = 0.52081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65768 ÷ 217
    65768 ÷ 131072     		y = 0.50177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52081298828125 × 2 - 1) × π
    0.0416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13077186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.0035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.011121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13077186} λ = 0.13077186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.011121360711853))-π/2
    2×atan(0.988940252999225)-π/2
    2×0.779837597666458-π/2
    1.55967519533292-1.57079632675     		φ = -0.01112113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13077186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.492676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01112113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.637194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68264 KachelY 65768 0.13077186 -0.01112113 7.492676 -0.637194
    Oben rechts KachelX + 1 68265 KachelY 65768 0.13081980 -0.01112113 7.495422 -0.637194
    Unten links KachelX 68264 KachelY + 1 65769 0.13077186 -0.01116907 7.492676 -0.639941
    Unten rechts KachelX + 1 68265 KachelY + 1 65769 0.13081980 -0.01116907 7.495422 -0.639941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01112113--0.01116907) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01112113--0.01116907) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13077186-0.13081980) × cos(-0.01112113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999938160871118 × 6371000     		do = 305.406852738454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13077186-0.13081980) × cos(-0.01116907) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999937626586085 × 6371000     		du = 305.406689554052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01112113)-sin(-0.01116907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999938160871118-0.999937626586085)×R²
    abs(0.13081980-0.13077186)×5.34285032993687e-07×R²
    4.79400000000241e-05×5.34285032993687e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×5.34285032993687e-07×40589641000000     		ar = 93279.0890962183m²