Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68255 / 65889
↖ ↑ ↗
← S  0.969497°
E  7.467957°		 ← 305.38 m → S  0.969497°
E  7.470703°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.972243°
E  7.467957°		 ← 305.38 m →
93 252 m²		 S  0.972243°
E  7.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520748138427734 y=0.502696990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520748138427734 × 217)
    floor (0.520748138427734 × 131072)
    floor (68255.5)     		tx = 68255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502696990966797 × 217)
    floor (0.502696990966797 × 131072)
    floor (65889.5)     		ty = 65889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68255 / 65889 ti = "17/68255/65889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68255/65889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68255 ÷ 217
    68255 ÷ 131072     		x = 0.520744323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65889 ÷ 217
    65889 ÷ 131072     		y = 0.502693176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520744323730469 × 2 - 1) × π
    0.0414886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13034043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502693176269531 × 2 - 1) × π
    -0.0053863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0169217255658798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13034043} λ = 0.13034043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0169217255658798))-π/2
    2×atan(0.983220642662367)-π/2
    2×0.776937704372943-π/2
    1.55387540874589-1.57079632675     		φ = -0.01692092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13034043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.467957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01692092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.969497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68255 KachelY 65889 0.13034043 -0.01692092 7.467957 -0.969497
    Oben rechts KachelX + 1 68256 KachelY 65889 0.13038837 -0.01692092 7.470703 -0.969497
    Unten links KachelX 68255 KachelY + 1 65890 0.13034043 -0.01696885 7.467957 -0.972243
    Unten rechts KachelX + 1 68256 KachelY + 1 65890 0.13038837 -0.01696885 7.470703 -0.972243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01692092--0.01696885) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01692092--0.01696885) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13034043-0.13038837) × cos(-0.01692092) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999856844648883 × 6371000     		do = 305.382016670927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13034043-0.13038837) × cos(-0.01696885) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999856032519411 × 6371000     		du = 305.381768625682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01692092)-sin(-0.01696885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999856844648883-0.999856032519411)×R²
    abs(0.13038837-0.13034043)×8.12129472338441e-07×R²
    4.79399999999963e-05×8.12129472338441e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.12129472338441e-07×40589641000000     		ar = 93252.034682185m²