Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68251 / 65689
↖ ↑ ↗
← S  0.420223°
E  7.456970°		 ← 305.42 m → S  0.420223°
E  7.459717°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.422970°
E  7.456970°		 ← 305.42 m →
93 282 m²		 S  0.422970°
E  7.459717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520717620849609 y=0.501171112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520717620849609 × 217)
    floor (0.520717620849609 × 131072)
    floor (68251.5)     		tx = 68251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501171112060547 × 217)
    floor (0.501171112060547 × 131072)
    floor (65689.5)     		ty = 65689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68251 / 65689 ti = "17/68251/65689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68251/65689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68251 ÷ 217
    68251 ÷ 131072     		x = 0.520713806152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65689 ÷ 217
    65689 ÷ 131072     		y = 0.501167297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520713806152344 × 2 - 1) × π
    0.0414276123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13014868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501167297363281 × 2 - 1) × π
    -0.0023345947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00733434564186859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13014868} λ = 0.13014868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00733434564186859))-π/2
    2×atan(0.992692485035902)-π/2
    2×0.781731023453881-π/2
    1.56346204690776-1.57079632675     		φ = -0.00733428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13014868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.456970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00733428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.420223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68251 KachelY 65689 0.13014868 -0.00733428 7.456970 -0.420223
    Oben rechts KachelX + 1 68252 KachelY 65689 0.13019662 -0.00733428 7.459717 -0.420223
    Unten links KachelX 68251 KachelY + 1 65690 0.13014868 -0.00738222 7.456970 -0.422970
    Unten rechts KachelX + 1 68252 KachelY + 1 65690 0.13019662 -0.00738222 7.459717 -0.422970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00733428--0.00738222) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00733428--0.00738222) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13014868-0.13019662) × cos(-0.00733428) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999973104289005 × 6371000     		do = 305.41752535772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13014868-0.13019662) × cos(-0.00738222) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999972751537683 × 6371000     		du = 305.417417618386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00733428)-sin(-0.00738222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999973104289005-0.999972751537683)×R²
    abs(0.13019662-0.13014868)×3.52751321708311e-07×R²
    4.79400000000241e-05×3.52751321708311e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×3.52751321708311e-07×40589641000000     		ar = 93282.3572560335m²