Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68248 / 66104
↖ ↑ ↗
← S  1.559866°
E  7.448730°		 ← 305.31 m → S  1.559866°
E  7.451477°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.562611°
E  7.448730°		 ← 305.31 m →
93 192 m²		 S  1.562611°
E  7.451477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520694732666016 y=0.504337310791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520694732666016 × 217)
    floor (0.520694732666016 × 131072)
    floor (68248.5)     		tx = 68248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504337310791016 × 217)
    floor (0.504337310791016 × 131072)
    floor (66104.5)     		ty = 66104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68248 / 66104 ti = "17/68248/66104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68248/66104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68248 ÷ 217
    68248 ÷ 131072     		x = 0.52069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66104 ÷ 217
    66104 ÷ 131072     		y = 0.50433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52069091796875 × 2 - 1) × π
    0.0413818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13000487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.0086669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0272281589841919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13000487} λ = 0.13000487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0272281589841919))-π/2
    2×atan(0.973139185745193)-π/2
    2×0.771785765777984-π/2
    1.54357153155597-1.57079632675     		φ = -0.02722480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13000487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.448730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02722480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.559866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68248 KachelY 66104 0.13000487 -0.02722480 7.448730 -1.559866
    Oben rechts KachelX + 1 68249 KachelY 66104 0.13005281 -0.02722480 7.451477 -1.559866
    Unten links KachelX 68248 KachelY + 1 66105 0.13000487 -0.02727271 7.448730 -1.562611
    Unten rechts KachelX + 1 68249 KachelY + 1 66105 0.13005281 -0.02727271 7.451477 -1.562611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02722480--0.02727271) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02722480--0.02727271) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13000487-0.13005281) × cos(-0.02722480) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999629428022007 × 6371000     		do = 305.312557779375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13000487-0.13005281) × cos(-0.02727271) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999628122695702 × 6371000     		du = 305.312159099122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02722480)-sin(-0.02727271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999629428022007-0.999628122695702)×R²
    abs(0.13005281-0.13000487)×1.30532630504554e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.30532630504554e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.30532630504554e-06×40589641000000     		ar = 93191.8986742049m²