Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68244 / 65676
↖ ↑ ↗
← S  0.384519°
E  7.437744°		 ← 305.42 m → S  0.384519°
E  7.440491°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.387265°
E  7.437744°		 ← 305.42 m →
93 263 m²		 S  0.387265°
E  7.440491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520664215087891 y=0.501071929931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520664215087891 × 217)
    floor (0.520664215087891 × 131072)
    floor (68244.5)     		tx = 68244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501071929931641 × 217)
    floor (0.501071929931641 × 131072)
    floor (65676.5)     		ty = 65676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68244 / 65676 ti = "17/68244/65676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68244/65676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68244 ÷ 217
    68244 ÷ 131072     		x = 0.520660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65676 ÷ 217
    65676 ÷ 131072     		y = 0.501068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520660400390625 × 2 - 1) × π
    0.04132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12981312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.00213623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00671116594680786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12981312} λ = 0.12981312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00671116594680786))-π/2
    2×atan(0.993311303633581)-π/2
    2×0.782042605612863-π/2
    1.56408521122573-1.57079632675     		φ = -0.00671112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12981312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00671112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.384519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68244 KachelY 65676 0.12981312 -0.00671112 7.437744 -0.384519
    Oben rechts KachelX + 1 68245 KachelY 65676 0.12986106 -0.00671112 7.440491 -0.384519
    Unten links KachelX 68244 KachelY + 1 65677 0.12981312 -0.00675905 7.437744 -0.387265
    Unten rechts KachelX + 1 68245 KachelY + 1 65677 0.12986106 -0.00675905 7.440491 -0.387265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00671112--0.00675905) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00671112--0.00675905) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12981312-0.12986106) × cos(-0.00671112) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999977480518695 × 6371000     		do = 305.418861970734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12981312-0.12986106) × cos(-0.00675905) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999977157708511 × 6371000     		du = 305.418763376195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00671112)-sin(-0.00675905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999977480518695-0.999977157708511)×R²
    abs(0.12986106-0.12981312)×3.2281018347291e-07×R²
    4.79399999999963e-05×3.2281018347291e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.2281018347291e-07×40589641000000     		ar = 93263.3086560127m²