Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68244 / 65652
↖ ↑ ↗
← S  0.318602°
E  7.437744°		 ← 305.42 m → S  0.318602°
E  7.440491°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.321349°
E  7.437744°		 ← 305.42 m →
93 283 m²		 S  0.321349°
E  7.440491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520664215087891 y=0.500888824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520664215087891 × 217)
    floor (0.520664215087891 × 131072)
    floor (68244.5)     		tx = 68244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500888824462891 × 217)
    floor (0.500888824462891 × 131072)
    floor (65652.5)     		ty = 65652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68244 / 65652 ti = "17/68244/65652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68244/65652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68244 ÷ 217
    68244 ÷ 131072     		x = 0.520660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65652 ÷ 217
    65652 ÷ 131072     		y = 0.500885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520660400390625 × 2 - 1) × π
    0.04132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12981312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.00177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00556068035592651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12981312} λ = 0.12981312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00556068035592651))-π/2
    2×atan(0.994454751609758)-π/2
    2×0.782617837547934-π/2
    1.56523567509587-1.57079632675     		φ = -0.00556065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12981312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00556065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.318602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68244 KachelY 65652 0.12981312 -0.00556065 7.437744 -0.318602
    Oben rechts KachelX + 1 68245 KachelY 65652 0.12986106 -0.00556065 7.440491 -0.318602
    Unten links KachelX 68244 KachelY + 1 65653 0.12981312 -0.00560859 7.437744 -0.321349
    Unten rechts KachelX + 1 68245 KachelY + 1 65653 0.12986106 -0.00560859 7.440491 -0.321349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00556065--0.00560859) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00556065--0.00560859) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12981312-0.12986106) × cos(-0.00556065) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999984539625626 × 6371000     		do = 305.421018003693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12981312-0.12986106) × cos(-0.00560859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999984271900335 × 6371000     		du = 305.420936233498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00556065)-sin(-0.00560859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999984539625626-0.999984271900335)×R²
    abs(0.12986106-0.12981312)×2.67725291047682e-07×R²
    4.79399999999963e-05×2.67725291047682e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.67725291047682e-07×40589641000000     		ar = 93283.4279658348m²