Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68243 / 65679
↖ ↑ ↗
← S  0.392758°
E  7.434998°		 ← 305.35 m → S  0.392758°
E  7.437744°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.395505°
E  7.434998°		 ← 305.35 m →
93 263 m²		 S  0.395505°
E  7.437744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520656585693359 y=0.501094818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520656585693359 × 217)
    floor (0.520656585693359 × 131072)
    floor (68243.5)     		tx = 68243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501094818115234 × 217)
    floor (0.501094818115234 × 131072)
    floor (65679.5)     		ty = 65679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68243 / 65679 ti = "17/68243/65679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68243/65679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68243 ÷ 217
    68243 ÷ 131072     		x = 0.520652770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65679 ÷ 217
    65679 ÷ 131072     		y = 0.501091003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520652770996094 × 2 - 1) × π
    0.0413055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12976519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501091003417969 × 2 - 1) × π
    -0.0021820068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00685497664566803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12976519} λ = 0.12976519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00685497664566803))-π/2
    2×atan(0.99316846511192)-π/2
    2×0.781970701917648-π/2
    1.5639414038353-1.57079632675     		φ = -0.00685492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12976519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.434998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00685492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.392758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68243 KachelY 65679 0.12976519 -0.00685492 7.434998 -0.392758
    Oben rechts KachelX + 1 68244 KachelY 65679 0.12981312 -0.00685492 7.437744 -0.392758
    Unten links KachelX 68243 KachelY + 1 65680 0.12976519 -0.00690286 7.434998 -0.395505
    Unten rechts KachelX + 1 68244 KachelY + 1 65680 0.12981312 -0.00690286 7.437744 -0.395505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00685492--0.00690286) × R
    4.79400000000007e-05 × 6371000     		dl = 305.425740000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00685492--0.00690286) × R
    4.79400000000007e-05 × 6371000     		dr = 305.425740000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12976519-0.12981312) × cos(-0.00685492) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999976505127899 × 6371000     		do = 305.354855558171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12976519-0.12981312) × cos(-0.00690286) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999976175356513 × 6371000     		du = 305.354754858511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00685492)-sin(-0.00690286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999976505127899-0.999976175356513)×R²
    abs(0.12981312-0.12976519)×3.29771385865207e-07×R²
    4.79300000000016e-05×3.29771385865207e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.29771385865207e-07×40589641000000     		ar = 93263.2173611759m²