Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68241 / 65614
↖ ↑ ↗
← S  0.214233°
E  7.429504°		 ← 305.42 m → S  0.214233°
E  7.432251°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.216980°
E  7.429504°		 ← 305.42 m →
93 284 m²		 S  0.216980°
E  7.432251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520641326904297 y=0.500598907470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520641326904297 × 217)
    floor (0.520641326904297 × 131072)
    floor (68241.5)     		tx = 68241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500598907470703 × 217)
    floor (0.500598907470703 × 131072)
    floor (65614.5)     		ty = 65614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68241 / 65614 ti = "17/68241/65614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68241/65614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68241 ÷ 217
    68241 ÷ 131072     		x = 0.520637512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65614 ÷ 217
    65614 ÷ 131072     		y = 0.500595092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520637512207031 × 2 - 1) × π
    0.0412750244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12966931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500595092773438 × 2 - 1) × π
    -0.001190185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00373907817036438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12966931} λ = 0.12966931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00373907817036438))-π/2
    2×atan(0.996267903478064)-π/2
    2×0.783528628668497-π/2
    1.56705725733699-1.57079632675     		φ = -0.00373907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12966931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.429504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00373907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.214233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68241 KachelY 65614 0.12966931 -0.00373907 7.429504 -0.214233
    Oben rechts KachelX + 1 68242 KachelY 65614 0.12971725 -0.00373907 7.432251 -0.214233
    Unten links KachelX 68241 KachelY + 1 65615 0.12966931 -0.00378701 7.429504 -0.216980
    Unten rechts KachelX + 1 68242 KachelY + 1 65615 0.12971725 -0.00378701 7.432251 -0.216980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00373907--0.00378701) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00373907--0.00378701) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12966931-0.12971725) × cos(-0.00373907) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999993009685912 × 6371000     		do = 305.423604978123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12966931-0.12971725) × cos(-0.00378701) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9999928292862 × 6371000     		du = 305.423549879408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00373907)-sin(-0.00378701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999993009685912-0.9999928292862)×R²
    abs(0.12971725-0.12966931)×1.80399711835477e-07×R²
    4.79399999999963e-05×1.80399711835477e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80399711835477e-07×40589641000000     		ar = 93284.2221674932m²