Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68238 / 65943
↖ ↑ ↗
← S  1.117788°
E  7.421264°		 ← 305.37 m → S  1.117788°
E  7.424011°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.120534°
E  7.421264°		 ← 305.37 m →
93 248 m²		 S  1.120534°
E  7.424011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520618438720703 y=0.503108978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520618438720703 × 217)
    floor (0.520618438720703 × 131072)
    floor (68238.5)     		tx = 68238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503108978271484 × 217)
    floor (0.503108978271484 × 131072)
    floor (65943.5)     		ty = 65943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68238 / 65943 ti = "17/68238/65943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68238/65943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68238 ÷ 217
    68238 ÷ 131072     		x = 0.520614624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65943 ÷ 217
    65943 ÷ 131072     		y = 0.503105163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520614624023438 × 2 - 1) × π
    0.041229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12952550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503105163574219 × 2 - 1) × π
    -0.0062103271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0195103181453629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12952550} λ = 0.12952550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0195103181453629))-π/2
    2×atan(0.980678776350294)-π/2
    2×0.775643623153516-π/2
    1.55128724630703-1.57079632675     		φ = -0.01950908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12952550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.421264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01950908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.117788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68238 KachelY 65943 0.12952550 -0.01950908 7.421264 -1.117788
    Oben rechts KachelX + 1 68239 KachelY 65943 0.12957344 -0.01950908 7.424011 -1.117788
    Unten links KachelX 68238 KachelY + 1 65944 0.12952550 -0.01955701 7.421264 -1.120534
    Unten rechts KachelX + 1 68239 KachelY + 1 65944 0.12957344 -0.01955701 7.424011 -1.120534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01950908--0.01955701) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01950908--0.01955701) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12952550-0.12957344) × cos(-0.01950908) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999809703934515 × 6371000     		do = 305.367618683534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12952550-0.12957344) × cos(-0.01955701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999808767775201 × 6371000     		du = 305.367332756382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01950908)-sin(-0.01955701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999809703934515-0.999808767775201)×R²
    abs(0.12957344-0.12952550)×9.36159313735807e-07×R²
    4.79400000000241e-05×9.36159313735807e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.36159313735807e-07×40589641000000     		ar = 93247.632299671m²