Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68233 / 65937
↖ ↑ ↗
← S  1.101311°
E  7.407532°		 ← 305.37 m → S  1.101311°
E  7.410279°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.104058°
E  7.407532°		 ← 305.37 m →
93 248 m²		 S  1.104058°
E  7.410279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520580291748047 y=0.503063201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520580291748047 × 217)
    floor (0.520580291748047 × 131072)
    floor (68233.5)     		tx = 68233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503063201904297 × 217)
    floor (0.503063201904297 × 131072)
    floor (65937.5)     		ty = 65937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68233 / 65937 ti = "17/68233/65937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68233/65937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68233 ÷ 217
    68233 ÷ 131072     		x = 0.520576477050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65937 ÷ 217
    65937 ÷ 131072     		y = 0.503059387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520576477050781 × 2 - 1) × π
    0.0411529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12928582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503059387207031 × 2 - 1) × π
    -0.0061187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0192226967476425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12928582} λ = 0.12928582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0192226967476425))-π/2
    2×atan(0.980960881118401)-π/2
    2×0.775787406887159-π/2
    1.55157481377432-1.57079632675     		φ = -0.01922151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12928582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.407532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01922151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.101311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68233 KachelY 65937 0.12928582 -0.01922151 7.407532 -1.101311
    Oben rechts KachelX + 1 68234 KachelY 65937 0.12933376 -0.01922151 7.410279 -1.101311
    Unten links KachelX 68233 KachelY + 1 65938 0.12928582 -0.01926944 7.407532 -1.104058
    Unten rechts KachelX + 1 68234 KachelY + 1 65938 0.12933376 -0.01926944 7.410279 -1.104058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01922151--0.01926944) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01922151--0.01926944) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12928582-0.12933376) × cos(-0.01922151) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999815272464317 × 6371000     		do = 305.369319455692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12928582-0.12933376) × cos(-0.01926944) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999814350085643 × 6371000     		du = 305.369037737503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01922151)-sin(-0.01926944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999815272464317-0.999814350085643)×R²
    abs(0.12933376-0.12928582)×9.22378674550473e-07×R²
    4.79399999999963e-05×9.22378674550473e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.22378674550473e-07×40589641000000     		ar = 93248.1522935339m²