Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68232 / 66024
↖ ↑ ↗
← S  1.340210°
E  7.404785°		 ← 305.34 m → S  1.340210°
E  7.407532°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.342956°
E  7.404785°		 ← 305.34 m →
93 240 m²		 S  1.342956°
E  7.407532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520572662353516 y=0.503726959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520572662353516 × 217)
    floor (0.520572662353516 × 131072)
    floor (68232.5)     		tx = 68232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503726959228516 × 217)
    floor (0.503726959228516 × 131072)
    floor (66024.5)     		ty = 66024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68232 / 66024 ti = "17/68232/66024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68232/66024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68232 ÷ 217
    68232 ÷ 131072     		x = 0.52056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66024 ÷ 217
    66024 ÷ 131072     		y = 0.50372314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52056884765625 × 2 - 1) × π
    0.0411376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12923788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50372314453125 × 2 - 1) × π
    -0.0074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0233932070145874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12923788} λ = 0.12923788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0233932070145874))-π/2
    2×atan(0.976878292847798)-π/2
    2×0.773702626556605-π/2
    1.54740525311321-1.57079632675     		φ = -0.02339107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12923788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.404785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02339107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.340210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68232 KachelY 66024 0.12923788 -0.02339107 7.404785 -1.340210
    Oben rechts KachelX + 1 68233 KachelY 66024 0.12928582 -0.02339107 7.407532 -1.340210
    Unten links KachelX 68232 KachelY + 1 66025 0.12923788 -0.02343900 7.404785 -1.342956
    Unten rechts KachelX + 1 68233 KachelY + 1 66025 0.12928582 -0.02343900 7.407532 -1.342956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02339107--0.02343900) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02339107--0.02343900) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12923788-0.12928582) × cos(-0.02339107) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999726441395423 × 6371000     		do = 305.34218816074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12923788-0.12928582) × cos(-0.02343900) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999725319215343 × 6371000     		du = 305.341845418059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02339107)-sin(-0.02343900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999726441395423-0.999725319215343)×R²
    abs(0.12928582-0.12923788)×1.12218007908282e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.12218007908282e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.12218007908282e-06×40589641000000     		ar = 93239.8581089617m²