Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68229 / 65658
↖ ↑ ↗
← S  0.335081°
E  7.396545°		 ← 305.42 m → S  0.335081°
E  7.399292°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.337827°
E  7.396545°		 ← 305.42 m →
93 264 m²		 S  0.337827°
E  7.399292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520549774169922 y=0.500934600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520549774169922 × 217)
    floor (0.520549774169922 × 131072)
    floor (68229.5)     		tx = 68229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500934600830078 × 217)
    floor (0.500934600830078 × 131072)
    floor (65658.5)     		ty = 65658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68229 / 65658 ti = "17/68229/65658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68229/65658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68229 ÷ 217
    68229 ÷ 131072     		x = 0.520545959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65658 ÷ 217
    65658 ÷ 131072     		y = 0.500930786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520545959472656 × 2 - 1) × π
    0.0410919189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12909407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500930786132812 × 2 - 1) × π
    -0.001861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00584830175364685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12909407} λ = 0.12909407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00584830175364685))-π/2
    2×atan(0.994168766273853)-π/2
    2×0.782474029189426-π/2
    1.56494805837885-1.57079632675     		φ = -0.00584827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12909407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.396545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00584827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.335081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68229 KachelY 65658 0.12909407 -0.00584827 7.396545 -0.335081
    Oben rechts KachelX + 1 68230 KachelY 65658 0.12914201 -0.00584827 7.399292 -0.335081
    Unten links KachelX 68229 KachelY + 1 65659 0.12909407 -0.00589620 7.396545 -0.337827
    Unten rechts KachelX + 1 68230 KachelY + 1 65659 0.12914201 -0.00589620 7.399292 -0.337827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00584827--0.00589620) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00584827--0.00589620) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12909407-0.12914201) × cos(-0.00584827) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999982898917745 × 6371000     		do = 305.420516889274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12909407-0.12914201) × cos(-0.00589620) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999982617463139 × 6371000     		du = 305.420430925793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00584827)-sin(-0.00589620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999982898917745-0.999982617463139)×R²
    abs(0.12914201-0.12909407)×2.81454605954856e-07×R²
    4.79399999999963e-05×2.81454605954856e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.81454605954856e-07×40589641000000     		ar = 93263.8159338196m²