Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68228 / 65662
↖ ↑ ↗
← S  0.346067°
E  7.393799°		 ← 305.42 m → S  0.346067°
E  7.396545°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.348814°
E  7.393799°		 ← 305.42 m →
93 283 m²		 S  0.348814°
E  7.396545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520542144775391 y=0.500965118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520542144775391 × 217)
    floor (0.520542144775391 × 131072)
    floor (68228.5)     		tx = 68228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.500965118408203 × 217)
    floor (0.500965118408203 × 131072)
    floor (65662.5)     		ty = 65662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68228 / 65662 ti = "17/68228/65662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68228/65662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68228 ÷ 217
    68228 ÷ 131072     		x = 0.520538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65662 ÷ 217
    65662 ÷ 131072     		y = 0.500961303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520538330078125 × 2 - 1) × π
    0.04107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12904613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.500961303710938 × 2 - 1) × π
    -0.001922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00604004935212708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12904613} λ = 0.12904613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00604004935212708))-π/2
    2×atan(0.993978155075639)-π/2
    2×0.782378157084073-π/2
    1.56475631416815-1.57079632675     		φ = -0.00604001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12904613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00604001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.346067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68228 KachelY 65662 0.12904613 -0.00604001 7.393799 -0.346067
    Oben rechts KachelX + 1 68229 KachelY 65662 0.12909407 -0.00604001 7.396545 -0.346067
    Unten links KachelX 68228 KachelY + 1 65663 0.12904613 -0.00608795 7.393799 -0.348814
    Unten rechts KachelX + 1 68229 KachelY + 1 65663 0.12909407 -0.00608795 7.396545 -0.348814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00604001--0.00608795) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00604001--0.00608795) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12904613-0.12909407) × cos(-0.00604001) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999981759195055 × 6371000     		do = 305.420168788628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12904613-0.12909407) × cos(-0.00608795) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999981468489635 × 6371000     		du = 305.42007999971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00604001)-sin(-0.00608795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999981759195055-0.999981468489635)×R²
    abs(0.12909407-0.12904613)×2.90705419514481e-07×R²
    4.79399999999963e-05×2.90705419514481e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.90705419514481e-07×40589641000000     		ar = 93283.1675218466m²