Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68226 / 66059
↖ ↑ ↗
← S  1.436312°
E  7.388306°		 ← 305.33 m → S  1.436312°
E  7.391052°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.439057°
E  7.388306°		 ← 305.33 m →
93 217 m²		 S  1.439057°
E  7.391052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520526885986328 y=0.503993988037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520526885986328 × 217)
    floor (0.520526885986328 × 131072)
    floor (68226.5)     		tx = 68226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503993988037109 × 217)
    floor (0.503993988037109 × 131072)
    floor (66059.5)     		ty = 66059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68226 / 66059 ti = "17/68226/66059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68226/66059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68226 ÷ 217
    68226 ÷ 131072     		x = 0.520523071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66059 ÷ 217
    66059 ÷ 131072     		y = 0.503990173339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520523071289062 × 2 - 1) × π
    0.041046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12895026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503990173339844 × 2 - 1) × π
    -0.0079803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0250709985012894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12895026} λ = 0.12895026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0250709985012894))-π/2
    2×atan(0.975240668944393)-π/2
    2×0.772863977148869-π/2
    1.54572795429774-1.57079632675     		φ = -0.02506837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12895026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.388306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02506837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.436312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68226 KachelY 66059 0.12895026 -0.02506837 7.388306 -1.436312
    Oben rechts KachelX + 1 68227 KachelY 66059 0.12899820 -0.02506837 7.391052 -1.436312
    Unten links KachelX 68226 KachelY + 1 66060 0.12895026 -0.02511629 7.388306 -1.439057
    Unten rechts KachelX + 1 68227 KachelY + 1 66060 0.12899820 -0.02511629 7.391052 -1.439057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02506837--0.02511629) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02506837--0.02511629) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12895026-0.12899820) × cos(-0.02506837) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999685804867247 × 6371000     		do = 305.329776719051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12895026-0.12899820) × cos(-0.02511629) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999684602568969 × 6371000     		du = 305.32940950621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02506837)-sin(-0.02511629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999685804867247-0.999684602568969)×R²
    abs(0.12899820-0.12895026)×1.20229827804685e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.20229827804685e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.20229827804685e-06×40589641000000     		ar = 93216.6118414092m²