Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68210 / 65926
↖ ↑ ↗
← S  1.071104°
E  7.344360°		 ← 305.37 m → S  1.071104°
E  7.347107°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.073851°
E  7.344360°		 ← 305.37 m →
93 249 m²		 S  1.073851°
E  7.347107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520404815673828 y=0.502979278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520404815673828 × 217)
    floor (0.520404815673828 × 131072)
    floor (68210.5)     		tx = 68210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502979278564453 × 217)
    floor (0.502979278564453 × 131072)
    floor (65926.5)     		ty = 65926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68210 / 65926 ti = "17/68210/65926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68210/65926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68210 ÷ 217
    68210 ÷ 131072     		x = 0.520401000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65926 ÷ 217
    65926 ÷ 131072     		y = 0.502975463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520401000976562 × 2 - 1) × π
    0.040802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12818327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502975463867188 × 2 - 1) × π
    -0.005950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0186953908518219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12818327} λ = 0.12818327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0186953908518219))-π/2
    2×atan(0.981478283977385)-π/2
    2×0.776051012454701-π/2
    1.5521020249094-1.57079632675     		φ = -0.01869430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12818327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.344360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01869430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.071104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68210 KachelY 65926 0.12818327 -0.01869430 7.344360 -1.071104
    Oben rechts KachelX + 1 68211 KachelY 65926 0.12823121 -0.01869430 7.347107 -1.071104
    Unten links KachelX 68210 KachelY + 1 65927 0.12818327 -0.01874223 7.344360 -1.073851
    Unten rechts KachelX + 1 68211 KachelY + 1 65927 0.12823121 -0.01874223 7.347107 -1.073851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01869430--0.01874223) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01869430--0.01874223) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12818327-0.12823121) × cos(-0.01869430) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999825266662615 × 6371000     		do = 305.37237194128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12818327-0.12823121) × cos(-0.01874223) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999824369548564 × 6371000     		du = 305.372097939557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01869430)-sin(-0.01874223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999825266662615-0.999824369548564)×R²
    abs(0.12823121-0.12818327)×8.97114051712222e-07×R²
    4.79400000000241e-05×8.97114051712222e-07×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.97114051712222e-07×40589641000000     		ar = 93249.0855848918m²