Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68207 / 66094
↖ ↑ ↗
← S  1.532410°
E  7.336121°		 ← 305.32 m → S  1.532410°
E  7.338867°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.535156°
E  7.336121°		 ← 305.32 m →
93 213 m²		 S  1.535156°
E  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520381927490234 y=0.504261016845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520381927490234 × 217)
    floor (0.520381927490234 × 131072)
    floor (68207.5)     		tx = 68207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504261016845703 × 217)
    floor (0.504261016845703 × 131072)
    floor (66094.5)     		ty = 66094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68207 / 66094 ti = "17/68207/66094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68207/66094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68207 ÷ 217
    68207 ÷ 131072     		x = 0.520378112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66094 ÷ 217
    66094 ÷ 131072     		y = 0.504257202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520378112792969 × 2 - 1) × π
    0.0407562255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12803946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504257202148438 × 2 - 1) × π
    -0.008514404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0267487899879913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12803946} λ = 0.12803946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0267487899879913))-π/2
    2×atan(0.973605790328777)-π/2
    2×0.772025363009849-π/2
    1.5440507260197-1.57079632675     		φ = -0.02674560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12803946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.336121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02674560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.532410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68207 KachelY 66094 0.12803946 -0.02674560 7.336121 -1.532410
    Oben rechts KachelX + 1 68208 KachelY 66094 0.12808740 -0.02674560 7.338867 -1.532410
    Unten links KachelX 68207 KachelY + 1 66095 0.12803946 -0.02679352 7.336121 -1.535156
    Unten rechts KachelX + 1 68208 KachelY + 1 66095 0.12808740 -0.02679352 7.338867 -1.535156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02674560--0.02679352) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02674560--0.02679352) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12803946-0.12808740) × cos(-0.02674560) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999642357760349 × 6371000     		do = 305.316506854276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12803946-0.12808740) × cos(-0.02679352) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999641075116239 × 6371000     		du = 305.316115101749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02674560)-sin(-0.02679352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999642357760349-0.999641075116239)×R²
    abs(0.12808740-0.12803946)×1.28264410981238e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.28264410981238e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.28264410981238e-06×40589641000000     		ar = 93212.556828021m²