Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68207 / 66025
↖ ↑ ↗
← S  1.342956°
E  7.336121°		 ← 305.34 m → S  1.342956°
E  7.338867°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.345701°
E  7.336121°		 ← 305.34 m →
93 220 m²		 S  1.345701°
E  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520381927490234 y=0.503734588623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520381927490234 × 217)
    floor (0.520381927490234 × 131072)
    floor (68207.5)     		tx = 68207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503734588623047 × 217)
    floor (0.503734588623047 × 131072)
    floor (66025.5)     		ty = 66025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68207 / 66025 ti = "17/68207/66025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68207/66025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68207 ÷ 217
    68207 ÷ 131072     		x = 0.520378112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66025 ÷ 217
    66025 ÷ 131072     		y = 0.503730773925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520378112792969 × 2 - 1) × π
    0.0407562255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12803946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503730773925781 × 2 - 1) × π
    -0.0074615478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0234411439142075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12803946} λ = 0.12803946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0234411439142075))-π/2
    2×atan(0.976831465453522)-π/2
    2×0.773678664677015-π/2
    1.54735732935403-1.57079632675     		φ = -0.02343900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12803946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.336121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02343900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.342956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68207 KachelY 66025 0.12803946 -0.02343900 7.336121 -1.342956
    Oben rechts KachelX + 1 68208 KachelY 66025 0.12808740 -0.02343900 7.338867 -1.342956
    Unten links KachelX 68207 KachelY + 1 66026 0.12803946 -0.02348692 7.336121 -1.345701
    Unten rechts KachelX + 1 68208 KachelY + 1 66026 0.12808740 -0.02348692 7.338867 -1.345701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02343900--0.02348692) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02343900--0.02348692) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12803946-0.12808740) × cos(-0.02343900) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999725319215343 × 6371000     		do = 305.341845418059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12803946-0.12808740) × cos(-0.02348692) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999724194973458 × 6371000     		du = 305.341502045649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02343900)-sin(-0.02348692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999725319215343-0.999724194973458)×R²
    abs(0.12808740-0.12803946)×1.12424188536409e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.12424188536409e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.12424188536409e-06×40589641000000     		ar = 93220.3000341592m²