Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68204 / 65708
↖ ↑ ↗
← S  0.472407°
E  7.327881°		 ← 305.42 m → S  0.472407°
E  7.330628°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.475153°
E  7.327881°		 ← 305.42 m →
93 282 m²		 S  0.475153°
E  7.330628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520359039306641 y=0.501316070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520359039306641 × 217)
    floor (0.520359039306641 × 131072)
    floor (68204.5)     		tx = 68204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501316070556641 × 217)
    floor (0.501316070556641 × 131072)
    floor (65708.5)     		ty = 65708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68204 / 65708 ti = "17/68204/65708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68204/65708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68204 ÷ 217
    68204 ÷ 131072     		x = 0.520355224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65708 ÷ 217
    65708 ÷ 131072     		y = 0.501312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520355224609375 × 2 - 1) × π
    0.04071044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12789565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501312255859375 × 2 - 1) × π
    -0.00262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00824514673464966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12789565} λ = 0.12789565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00824514673464966))-π/2
    2×atan(0.991788751259066)-π/2
    2×0.781275636739766-π/2
    1.56255127347953-1.57079632675     		φ = -0.00824505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12789565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.327881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00824505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.472407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68204 KachelY 65708 0.12789565 -0.00824505 7.327881 -0.472407
    Oben rechts KachelX + 1 68205 KachelY 65708 0.12794359 -0.00824505 7.330628 -0.472407
    Unten links KachelX 68204 KachelY + 1 65709 0.12789565 -0.00829299 7.327881 -0.475153
    Unten rechts KachelX + 1 68205 KachelY + 1 65709 0.12794359 -0.00829299 7.330628 -0.475153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00824505--0.00829299) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00824505--0.00829299) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12789565-0.12794359) × cos(-0.00824505) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999966009767806 × 6371000     		do = 305.415358508156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12789565-0.12794359) × cos(-0.00829299) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999965613355505 × 6371000     		du = 305.415237433636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00824505)-sin(-0.00829299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999966009767806-0.999965613355505)×R²
    abs(0.12794359-0.12789565)×3.96412301206794e-07×R²
    4.79399999999963e-05×3.96412301206794e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.96412301206794e-07×40589641000000     		ar = 93281.6934079479m²