Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68197 / 66002
↖ ↑ ↗
← S  1.279801°
E  7.308655°		 ← 305.35 m → S  1.279801°
E  7.311402°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.282547°
E  7.308655°		 ← 305.35 m →
93 223 m²		 S  1.282547°
E  7.311402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520305633544922 y=0.503559112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520305633544922 × 217)
    floor (0.520305633544922 × 131072)
    floor (68197.5)     		tx = 68197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503559112548828 × 217)
    floor (0.503559112548828 × 131072)
    floor (66002.5)     		ty = 66002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68197 / 66002 ti = "17/68197/66002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68197/66002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68197 ÷ 217
    68197 ÷ 131072     		x = 0.520301818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66002 ÷ 217
    66002 ÷ 131072     		y = 0.503555297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520301818847656 × 2 - 1) × π
    0.0406036376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12756009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503555297851562 × 2 - 1) × π
    -0.007110595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0223385952229462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12756009} λ = 0.12756009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0223385952229462))-π/2
    2×atan(0.977909063650419)-π/2
    2×0.774229794607251-π/2
    1.5484595892145-1.57079632675     		φ = -0.02233674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12756009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.308655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02233674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.279801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68197 KachelY 66002 0.12756009 -0.02233674 7.308655 -1.279801
    Oben rechts KachelX + 1 68198 KachelY 66002 0.12760803 -0.02233674 7.311402 -1.279801
    Unten links KachelX 68197 KachelY + 1 66003 0.12756009 -0.02238466 7.308655 -1.282547
    Unten rechts KachelX + 1 68198 KachelY + 1 66003 0.12760803 -0.02238466 7.311402 -1.282547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02233674--0.02238466) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02233674--0.02238466) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12756009-0.12760803) × cos(-0.02233674) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999750545395043 × 6371000     		do = 305.349550142838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12756009-0.12760803) × cos(-0.02238466) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999749473959591 × 6371000     		du = 305.349222898872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02233674)-sin(-0.02238466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999750545395043-0.999749473959591)×R²
    abs(0.12760803-0.12756009)×1.07143545224897e-06×R²
    4.79400000000241e-05×1.07143545224897e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.07143545224897e-06×40589641000000     		ar = 93222.6547356852m²