Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68196 / 65700
↖ ↑ ↗
← S  0.450435°
E  7.305908°		 ← 305.42 m → S  0.450435°
E  7.308655°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.453182°
E  7.305908°		 ← 305.42 m →
93 282 m²		 S  0.453182°
E  7.308655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520298004150391 y=0.501255035400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520298004150391 × 217)
    floor (0.520298004150391 × 131072)
    floor (68196.5)     		tx = 68196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501255035400391 × 217)
    floor (0.501255035400391 × 131072)
    floor (65700.5)     		ty = 65700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68196 / 65700 ti = "17/68196/65700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68196/65700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68196 ÷ 217
    68196 ÷ 131072     		x = 0.520294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65700 ÷ 217
    65700 ÷ 131072     		y = 0.501251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520294189453125 × 2 - 1) × π
    0.04058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12751215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.00250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.00786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12751215} λ = 0.12751215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00786165153768921))-π/2
    2×atan(0.992169170421372)-π/2
    2×0.781467378119129-π/2
    1.56293475623826-1.57079632675     		φ = -0.00786157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12751215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00786157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.450435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68196 KachelY 65700 0.12751215 -0.00786157 7.305908 -0.450435
    Oben rechts KachelX + 1 68197 KachelY 65700 0.12756009 -0.00786157 7.308655 -0.450435
    Unten links KachelX 68196 KachelY + 1 65701 0.12751215 -0.00790951 7.305908 -0.453182
    Unten rechts KachelX + 1 68197 KachelY + 1 65701 0.12756009 -0.00790951 7.308655 -0.453182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00786157--0.00790951) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00786157--0.00790951) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12751215-0.12756009) × cos(-0.00786157) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999969098017724 × 6371000     		do = 305.416301739173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12751215-0.12756009) × cos(-0.00790951) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999968719988855 × 6371000     		du = 305.416186279425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00786157)-sin(-0.00790951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999969098017724-0.999968719988855)×R²
    abs(0.12756009-0.12751215)×3.78028869763014e-07×R²
    4.79399999999963e-05×3.78028869763014e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.78028869763014e-07×40589641000000     		ar = 93281.9823524257m²