Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68194 / 65698
↖ ↑ ↗
← S  0.444942°
E  7.300415°		 ← 305.42 m → S  0.444942°
E  7.303162°		 →
↑
305.43 m
↓
↑
305.43 m
↓
S  0.447689°
E  7.300415°		 ← 305.42 m →
93 282 m²		 S  0.447689°
E  7.303162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520282745361328 y=0.501239776611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520282745361328 × 217)
    floor (0.520282745361328 × 131072)
    floor (68194.5)     		tx = 68194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501239776611328 × 217)
    floor (0.501239776611328 × 131072)
    floor (65698.5)     		ty = 65698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68194 / 65698 ti = "17/68194/65698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68194/65698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68194 ÷ 217
    68194 ÷ 131072     		x = 0.520278930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65698 ÷ 217
    65698 ÷ 131072     		y = 0.501235961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520278930664062 × 2 - 1) × π
    0.040557861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12741628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501235961914062 × 2 - 1) × π
    -0.002471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0077657777384491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12741628} λ = 0.12741628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0077657777384491))-π/2
    2×atan(0.992264298009278)-π/2
    2×0.781515313555395-π/2
    1.56303062711079-1.57079632675     		φ = -0.00776570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12741628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.300415°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00776570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.444942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68194 KachelY 65698 0.12741628 -0.00776570 7.300415 -0.444942
    Oben rechts KachelX + 1 68195 KachelY 65698 0.12746422 -0.00776570 7.303162 -0.444942
    Unten links KachelX 68194 KachelY + 1 65699 0.12741628 -0.00781364 7.300415 -0.447689
    Unten rechts KachelX + 1 68195 KachelY + 1 65699 0.12746422 -0.00781364 7.303162 -0.447689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00776570--0.00781364) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.425739999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00776570--0.00781364) × R
    4.79399999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.425739999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12741628-0.12746422) × cos(-0.00776570) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999969847103289 × 6371000     		do = 305.416530529185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12741628-0.12746422) × cos(-0.00781364) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999969473670286 × 6371000     		du = 305.416416473134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00776570)-sin(-0.00781364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999969847103289-0.999969473670286)×R²
    abs(0.12746422-0.12741628)×3.73433003186818e-07×R²
    4.79399999999963e-05×3.73433003186818e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.73433003186818e-07×40589641000000     		ar = 93282.0524451487m²