Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68191 / 66007
↖ ↑ ↗
← S  1.293530°
E  7.292175°		 ← 305.35 m → S  1.293530°
E  7.294922°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.296276°
E  7.292175°		 ← 305.35 m →
93 242 m²		 S  1.296276°
E  7.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520259857177734 y=0.503597259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520259857177734 × 217)
    floor (0.520259857177734 × 131072)
    floor (68191.5)     		tx = 68191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503597259521484 × 217)
    floor (0.503597259521484 × 131072)
    floor (66007.5)     		ty = 66007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68191 / 66007 ti = "17/68191/66007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68191/66007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68191 ÷ 217
    68191 ÷ 131072     		x = 0.520256042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66007 ÷ 217
    66007 ÷ 131072     		y = 0.503593444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520256042480469 × 2 - 1) × π
    0.0405120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12727247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503593444824219 × 2 - 1) × π
    -0.0071868896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0225782797210464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12727247} λ = 0.12727247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0225782797210464))-π/2
    2×atan(0.977674702094848)-π/2
    2×0.774109982575239-π/2
    1.54821996515048-1.57079632675     		φ = -0.02257636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12727247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.292175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02257636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.293530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68191 KachelY 66007 0.12727247 -0.02257636 7.292175 -1.293530
    Oben rechts KachelX + 1 68192 KachelY 66007 0.12732041 -0.02257636 7.294922 -1.293530
    Unten links KachelX 68191 KachelY + 1 66008 0.12727247 -0.02262429 7.292175 -1.296276
    Unten rechts KachelX + 1 68192 KachelY + 1 66008 0.12732041 -0.02262429 7.294922 -1.296276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02257636--0.02262429) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02257636--0.02262429) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12727247-0.12732041) × cos(-0.02257636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999745164808807 × 6371000     		do = 305.347906773128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12727247-0.12732041) × cos(-0.02262429) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999744081667442 × 6371000     		du = 305.347575953875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02257636)-sin(-0.02262429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999745164808807-0.999744081667442)×R²
    abs(0.12732041-0.12727247)×1.08314136482157e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.08314136482157e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.08314136482157e-06×40589641000000     		ar = 93241.6061765181m²