Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68188 / 66006
↖ ↑ ↗
← S  1.290785°
E  7.283936°		 ← 305.28 m → S  1.290785°
E  7.286682°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.293530°
E  7.283936°		 ← 305.28 m →
93 203 m²		 S  1.293530°
E  7.286682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520236968994141 y=0.503589630126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520236968994141 × 217)
    floor (0.520236968994141 × 131072)
    floor (68188.5)     		tx = 68188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503589630126953 × 217)
    floor (0.503589630126953 × 131072)
    floor (66006.5)     		ty = 66006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68188 / 66006 ti = "17/68188/66006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68188/66006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68188 ÷ 217
    68188 ÷ 131072     		x = 0.520233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66006 ÷ 217
    66006 ÷ 131072     		y = 0.503585815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520233154296875 × 2 - 1) × π
    0.04046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12712866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503585815429688 × 2 - 1) × π
    -0.007171630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0225303428214264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12712866} λ = 0.12712866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0225303428214264))-π/2
    2×atan(0.977721569912244)-π/2
    2×0.77413394493-π/2
    1.54826788986-1.57079632675     		φ = -0.02252844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12712866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.283936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02252844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.290785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68188 KachelY 66006 0.12712866 -0.02252844 7.283936 -1.290785
    Oben rechts KachelX + 1 68189 KachelY 66006 0.12717659 -0.02252844 7.286682 -1.290785
    Unten links KachelX 68188 KachelY + 1 66007 0.12712866 -0.02257636 7.283936 -1.293530
    Unten rechts KachelX + 1 68189 KachelY + 1 66007 0.12717659 -0.02257636 7.286682 -1.293530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02252844--0.02257636) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02252844--0.02257636) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12712866-0.12717659) × cos(-0.02252844) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999746245428207 × 6371000     		do = 305.284542988845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12712866-0.12717659) × cos(-0.02257636) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999745164808807 × 6371000     		du = 305.284213008712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02252844)-sin(-0.02257636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999746245428207-0.999745164808807)×R²
    abs(0.12717659-0.12712866)×1.0806193999624e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.0806193999624e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.0806193999624e-06×40589641000000     		ar = 93202.8077431037m²