Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68188 / 65692
↖ ↑ ↗
← S  0.428463°
E  7.283936°		 ← 305.35 m → S  0.428463°
E  7.286682°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.431209°
E  7.283936°		 ← 305.35 m →
93 243 m²		 S  0.431209°
E  7.286682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520236968994141 y=0.501194000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520236968994141 × 217)
    floor (0.520236968994141 × 131072)
    floor (68188.5)     		tx = 68188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501194000244141 × 217)
    floor (0.501194000244141 × 131072)
    floor (65692.5)     		ty = 65692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68188 / 65692 ti = "17/68188/65692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68188/65692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68188 ÷ 217
    68188 ÷ 131072     		x = 0.520233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65692 ÷ 217
    65692 ÷ 131072     		y = 0.501190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520233154296875 × 2 - 1) × π
    0.04046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12712866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501190185546875 × 2 - 1) × π
    -0.00238037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00747815634072876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12712866} λ = 0.12712866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00747815634072876))-π/2
    2×atan(0.992549735500577)-π/2
    2×0.781659120076564-π/2
    1.56331824015313-1.57079632675     		φ = -0.00747809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12712866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.283936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00747809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.428463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68188 KachelY 65692 0.12712866 -0.00747809 7.283936 -0.428463
    Oben rechts KachelX + 1 68189 KachelY 65692 0.12717659 -0.00747809 7.286682 -0.428463
    Unten links KachelX 68188 KachelY + 1 65693 0.12712866 -0.00752602 7.283936 -0.431209
    Unten rechts KachelX + 1 68189 KachelY + 1 65693 0.12717659 -0.00752602 7.286682 -0.431209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00747809--0.00752602) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00747809--0.00752602) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12712866-0.12717659) × cos(-0.00747809) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999972039215278 × 6371000     		do = 305.353491838027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12712866-0.12717659) × cos(-0.00752602) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999971679645155 × 6371000     		du = 305.353382038964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00747809)-sin(-0.00752602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999972039215278-0.999971679645155)×R²
    abs(0.12717659-0.12712866)×3.59570123342756e-07×R²
    4.79300000000016e-05×3.59570123342756e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.59570123342756e-07×40589641000000     		ar = 93243.3453888651m²