Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68187 / 66071
↖ ↑ ↗
← S  1.469260°
E  7.281189°		 ← 305.33 m → S  1.469260°
E  7.283936°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.472006°
E  7.281189°		 ← 305.32 m →
93 215 m²		 S  1.472006°
E  7.283936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520229339599609 y=0.504085540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520229339599609 × 217)
    floor (0.520229339599609 × 131072)
    floor (68187.5)     		tx = 68187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504085540771484 × 217)
    floor (0.504085540771484 × 131072)
    floor (66071.5)     		ty = 66071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68187 / 66071 ti = "17/68187/66071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68187/66071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68187 ÷ 217
    68187 ÷ 131072     		x = 0.520225524902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66071 ÷ 217
    66071 ÷ 131072     		y = 0.504081726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520225524902344 × 2 - 1) × π
    0.0404510498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12708072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504081726074219 × 2 - 1) × π
    -0.0081634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.02564624129673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12708072} λ = 0.12708072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.02564624129673))-π/2
    2×atan(0.974679830100479)-π/2
    2×0.772576448209187-π/2
    1.54515289641837-1.57079632675     		φ = -0.02564343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12708072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.281189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02564343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.469260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68187 KachelY 66071 0.12708072 -0.02564343 7.281189 -1.469260
    Oben rechts KachelX + 1 68188 KachelY 66071 0.12712866 -0.02564343 7.283936 -1.469260
    Unten links KachelX 68187 KachelY + 1 66072 0.12708072 -0.02569135 7.281189 -1.472006
    Unten rechts KachelX + 1 68188 KachelY + 1 66072 0.12712866 -0.02569135 7.283936 -1.472006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02564343--0.02569135) × R
    4.79200000000034e-05 × 6371000     		dl = 305.298320000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02564343--0.02569135) × R
    4.79200000000034e-05 × 6371000     		dr = 305.298320000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12708072-0.12712866) × cos(-0.02564343) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999671225265968 × 6371000     		do = 305.325323733542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12708072-0.12712866) × cos(-0.02569135) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99966999541969 × 6371000     		du = 305.324948106832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02564343)-sin(-0.02569135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999671225265968-0.99966999541969)×R²
    abs(0.12712866-0.12708072)×1.22984627815015e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.22984627815015e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.22984627815015e-06×40589641000000     		ar = 93215.2510680502m²