Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68171 / 66075
↖ ↑ ↗
← S  1.480243°
E  7.237244°		 ← 305.32 m → S  1.480243°
E  7.239990°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.482989°
E  7.237244°		 ← 305.32 m →
93 234 m²		 S  1.482989°
E  7.239990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520107269287109 y=0.504116058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520107269287109 × 217)
    floor (0.520107269287109 × 131072)
    floor (68171.5)     		tx = 68171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504116058349609 × 217)
    floor (0.504116058349609 × 131072)
    floor (66075.5)     		ty = 66075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68171 / 66075 ti = "17/68171/66075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68171/66075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68171 ÷ 217
    68171 ÷ 131072     		x = 0.520103454589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66075 ÷ 217
    66075 ÷ 131072     		y = 0.504112243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520103454589844 × 2 - 1) × π
    0.0402069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12631373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504112243652344 × 2 - 1) × π
    -0.0082244873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0258379888952103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12631373} λ = 0.12631373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0258379888952103))-π/2
    2×atan(0.974492955500721)-π/2
    2×0.772480606167022-π/2
    1.54496121233404-1.57079632675     		φ = -0.02583511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12631373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.237244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02583511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.480243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68171 KachelY 66075 0.12631373 -0.02583511 7.237244 -1.480243
    Oben rechts KachelX + 1 68172 KachelY 66075 0.12636167 -0.02583511 7.239990 -1.480243
    Unten links KachelX 68171 KachelY + 1 66076 0.12631373 -0.02588304 7.237244 -1.482989
    Unten rechts KachelX + 1 68172 KachelY + 1 66076 0.12636167 -0.02588304 7.239990 -1.482989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02583511--0.02588304) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02583511--0.02588304) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12631373-0.12636167) × cos(-0.02583511) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999666292107455 × 6371000     		do = 305.323817019952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12631373-0.12636167) × cos(-0.02588304) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999665052820118 × 6371000     		du = 305.3234385097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02583511)-sin(-0.02588304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999666292107455-0.999665052820118)×R²
    abs(0.12636167-0.12631373)×1.23928733697376e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.23928733697376e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.23928733697376e-06×40589641000000     		ar = 93234.2427990737m²