Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68171 / 66008
↖ ↑ ↗
← S  1.296276°
E  7.237244°		 ← 305.35 m → S  1.296276°
E  7.239990°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.299022°
E  7.237244°		 ← 305.35 m →
93 222 m²		 S  1.299022°
E  7.239990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520107269287109 y=0.503604888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520107269287109 × 217)
    floor (0.520107269287109 × 131072)
    floor (68171.5)     		tx = 68171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503604888916016 × 217)
    floor (0.503604888916016 × 131072)
    floor (66008.5)     		ty = 66008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68171 / 66008 ti = "17/68171/66008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68171/66008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68171 ÷ 217
    68171 ÷ 131072     		x = 0.520103454589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66008 ÷ 217
    66008 ÷ 131072     		y = 0.50360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520103454589844 × 2 - 1) × π
    0.0402069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12631373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.0072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0226262166206665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12631373} λ = 0.12631373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0226262166206665))-π/2
    2×atan(0.977627836524097)-π/2
    2×0.774086020246409-π/2
    1.54817204049282-1.57079632675     		φ = -0.02262429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12631373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.237244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02262429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.296276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68171 KachelY 66008 0.12631373 -0.02262429 7.237244 -1.296276
    Oben rechts KachelX + 1 68172 KachelY 66008 0.12636167 -0.02262429 7.239990 -1.296276
    Unten links KachelX 68171 KachelY + 1 66009 0.12631373 -0.02267221 7.237244 -1.299022
    Unten rechts KachelX + 1 68172 KachelY + 1 66009 0.12636167 -0.02267221 7.239990 -1.299022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02262429--0.02267221) × R
    4.79200000000034e-05 × 6371000     		dl = 305.298320000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02262429--0.02267221) × R
    4.79200000000034e-05 × 6371000     		dr = 305.298320000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12631373-0.12636167) × cos(-0.02262429) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999744081667442 × 6371000     		do = 305.347575953875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12631373-0.12636167) × cos(-0.02267221) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999742996456083 × 6371000     		du = 305.347244502393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02262429)-sin(-0.02267221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999744081667442-0.999742996456083)×R²
    abs(0.12636167-0.12631373)×1.08521135899764e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.08521135899764e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.08521135899764e-06×40589641000000     		ar = 93222.0513768486m²