Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68170 / 66085
↖ ↑ ↗
← S  1.507699°
E  7.234497°		 ← 305.32 m → S  1.507699°
E  7.237244°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.510445°
E  7.234497°		 ← 305.32 m →
93 214 m²		 S  1.510445°
E  7.237244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520099639892578 y=0.504192352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520099639892578 × 217)
    floor (0.520099639892578 × 131072)
    floor (68170.5)     		tx = 68170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504192352294922 × 217)
    floor (0.504192352294922 × 131072)
    floor (66085.5)     		ty = 66085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68170 / 66085 ti = "17/68170/66085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68170/66085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68170 ÷ 217
    68170 ÷ 131072     		x = 0.520095825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66085 ÷ 217
    66085 ÷ 131072     		y = 0.504188537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520095825195312 × 2 - 1) × π
    0.040191650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12626579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504188537597656 × 2 - 1) × π
    -0.0083770751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0263173578914108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12626579} λ = 0.12626579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0263173578914108))-π/2
    2×atan(0.974025925739575)-π/2
    2×0.772241003146255-π/2
    1.54448200629251-1.57079632675     		φ = -0.02631432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12626579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.234497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02631432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.507699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68170 KachelY 66085 0.12626579 -0.02631432 7.234497 -1.507699
    Oben rechts KachelX + 1 68171 KachelY 66085 0.12631373 -0.02631432 7.237244 -1.507699
    Unten links KachelX 68170 KachelY + 1 66086 0.12626579 -0.02636224 7.234497 -1.510445
    Unten rechts KachelX + 1 68171 KachelY + 1 66086 0.12631373 -0.02636224 7.237244 -1.510445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02631432--0.02636224) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02631432--0.02636224) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12626579-0.12631373) × cos(-0.02631432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999653798259254 × 6371000     		do = 305.320001077297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12626579-0.12631373) × cos(-0.02636224) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.999652536274796 × 6371000     		du = 305.31961563476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02631432)-sin(-0.02636224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999653798259254-0.999652536274796)×R²
    abs(0.12631373-0.12626579)×1.26198445815628e-06×R²
    4.79400000000241e-05×1.26198445815628e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.26198445815628e-06×40589641000000     		ar = 93213.6245716526m²