Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68168 / 65910
↖ ↑ ↗
← S  1.027167°
E  7.229004°		 ← 305.38 m → S  1.027167°
E  7.231751°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.029913°
E  7.229004°		 ← 305.38 m →
93 250 m²		 S  1.029913°
E  7.231751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520084381103516 y=0.502857208251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520084381103516 × 217)
    floor (0.520084381103516 × 131072)
    floor (68168.5)     		tx = 68168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502857208251953 × 217)
    floor (0.502857208251953 × 131072)
    floor (65910.5)     		ty = 65910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68168 / 65910 ti = "17/68168/65910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68168/65910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68168 ÷ 217
    68168 ÷ 131072     		x = 0.52008056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65910 ÷ 217
    65910 ÷ 131072     		y = 0.502853393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52008056640625 × 2 - 1) × π
    0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502853393554688 × 2 - 1) × π
    -0.005706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.017928400457901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12616992} λ = 0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.017928400457901))-π/2
    2×atan(0.982231357156067)-π/2
    2×0.776434443353388-π/2
    1.55286888670678-1.57079632675     		φ = -0.01792744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01792744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.027167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68168 KachelY 65910 0.12616992 -0.01792744 7.229004 -1.027167
    Oben rechts KachelX + 1 68169 KachelY 65910 0.12621786 -0.01792744 7.231751 -1.027167
    Unten links KachelX 68168 KachelY + 1 65911 0.12616992 -0.01797537 7.229004 -1.029913
    Unten rechts KachelX + 1 68169 KachelY + 1 65911 0.12621786 -0.01797537 7.231751 -1.029913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01792744--0.01797537) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01792744--0.01797537) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12616992-0.12621786) × cos(-0.01792744) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999839307751374 × 6371000     		do = 305.376660451028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12616992-0.12621786) × cos(-0.01797537) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999838447386743 × 6371000     		du = 305.376397673524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01792744)-sin(-0.01797537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999839307751374-0.999838447386743)×R²
    abs(0.12621786-0.12616992)×8.60364630650423e-07×R²
    4.79399999999963e-05×8.60364630650423e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.60364630650423e-07×40589641000000     		ar = 93250.3968466672m²