Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68166 / 65342
↖ ↑ ↗
← N  0.532829°
E  7.223511°		 ← 305.35 m → N  0.532829°
E  7.226257°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.530083°
E  7.223511°		 ← 305.35 m →
93 242 m²		 N  0.530083°
E  7.226257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520069122314453 y=0.498523712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520069122314453 × 217)
    floor (0.520069122314453 × 131072)
    floor (68166.5)     		tx = 68166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498523712158203 × 217)
    floor (0.498523712158203 × 131072)
    floor (65342.5)     		ty = 65342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68166 / 65342 ti = "17/68166/65342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68166/65342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68166 ÷ 217
    68166 ÷ 131072     		x = 0.520065307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65342 ÷ 217
    65342 ÷ 131072     		y = 0.498519897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520065307617188 × 2 - 1) × π
    0.040130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12607405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498519897460938 × 2 - 1) × π
    0.002960205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00929975852629089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12607405} λ = 0.12607405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00929975852629089))-π/2
    2×atan(1.00934313564191)-π/2
    2×0.790047975637514-π/2
    1.58009595127503-1.57079632675     		φ = 0.00929962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12607405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.223511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00929962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.532829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68166 KachelY 65342 0.12607405 0.00929962 7.223511 0.532829
    Oben rechts KachelX + 1 68167 KachelY 65342 0.12612198 0.00929962 7.226257 0.532829
    Unten links KachelX 68166 KachelY + 1 65343 0.12607405 0.00925169 7.223511 0.530083
    Unten rechts KachelX + 1 68167 KachelY + 1 65343 0.12612198 0.00925169 7.226257 0.530083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00929962-0.00925169) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00929962-0.00925169) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12607405-0.12612198) × cos(0.00929962) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999956758845564 × 6371000     		do = 305.348825793312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12607405-0.12612198) × cos(0.00925169) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999957203421333 × 6371000     		du = 305.348961549871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00929962)-sin(0.00925169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999956758845564-0.999957203421333)×R²
    abs(0.12612198-0.12607405)×4.44575768976385e-07×R²
    4.79300000000016e-05×4.44575768976385e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.44575768976385e-07×40589641000000     		ar = 93241.9580476615m²