Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6816 / 8160
↖ ↑ ↗
← S 84.928321°
E119.531250°		 ← 431.98 m → S 84.928321°
E119.575195°		 →
↑
431.83 m
↓
↑
431.83 m
↓
S 84.932205°
E119.531250°		 ← 431.65 m →
186 467 m²		 S 84.932205°
E119.575195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.83209228515625 y=0.99615478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.83209228515625 × 213)
    floor (0.83209228515625 × 8192)
    floor (6816.5)     		tx = 6816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.99615478515625 × 213)
    floor (0.99615478515625 × 8192)
    floor (8160.5)     		ty = 8160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6816 / 8160 ti = "13/6816/8160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6816/8160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6816 ÷ 213
    6816 ÷ 8192     		x = 0.83203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8160 ÷ 213
    8160 ÷ 8192     		y = 0.99609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83203125 × 2 - 1) × π
    0.6640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.08621387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.99609375 × 2 - 1) × π
    -0.9921875 × 3.1415926535     		Φ = -3.11704896089453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.08621387} λ = 2.08621387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.11704896089453))-π/2
    2×atan(0.0442876704140227)-π/2
    2×0.0442587491962964-π/2
    0.0885174983925929-1.57079632675     		φ = -1.48227883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.08621387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 119.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.48227883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.928321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6816 KachelY 8160 2.08621387 -1.48227883 119.531250 -84.928321
    Oben rechts KachelX + 1 6817 KachelY 8160 2.08698086 -1.48227883 119.575195 -84.928321
    Unten links KachelX 6816 KachelY + 1 8161 2.08621387 -1.48234661 119.531250 -84.932205
    Unten rechts KachelX + 1 6817 KachelY + 1 8161 2.08698086 -1.48234661 119.575195 -84.932205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.48227883--1.48234661) × R
    6.77799999999618e-05 × 6371000     		dl = 431.826379999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.48227883--1.48234661) × R
    6.77799999999618e-05 × 6371000     		dr = 431.826379999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.08621387-2.08698086) × cos(-1.48227883) × R
    0.000766990000000245 × 0.0884019478518086 × 6371000     		do = 431.975525000931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.08621387-2.08698086) × cos(-1.48234661) × R
    0.000766990000000245 × 0.0883344330153755 × 6371000     		du = 431.645614205725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.48227883)-sin(-1.48234661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0884019478518086-0.0883344330153755)×R²
    abs(2.08698086-2.08621387)×6.75148364331357e-05×R²
    0.000766990000000245×6.75148364331357e-05×6371000²
    0.000766990000000245×6.75148364331357e-05×40589641000000     		ar = 186467.195189013m²