Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68159 / 65347
↖ ↑ ↗
← N  0.519097°
E  7.204285°		 ← 305.35 m → N  0.519097°
E  7.207031°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.516351°
E  7.204285°		 ← 305.35 m →
93 242 m²		 N  0.516351°
E  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520015716552734 y=0.498561859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520015716552734 × 217)
    floor (0.520015716552734 × 131072)
    floor (68159.5)     		tx = 68159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498561859130859 × 217)
    floor (0.498561859130859 × 131072)
    floor (65347.5)     		ty = 65347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68159 / 65347 ti = "17/68159/65347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68159/65347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68159 ÷ 217
    68159 ÷ 131072     		x = 0.520011901855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65347 ÷ 217
    65347 ÷ 131072     		y = 0.498558044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520011901855469 × 2 - 1) × π
    0.0400238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12573849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498558044433594 × 2 - 1) × π
    0.0028839111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.00906007402819061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12573849} λ = 0.12573849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00906007402819061))-π/2
    2×atan(1.00910124072942)-π/2
    2×0.789928138438178-π/2
    1.57985627687636-1.57079632675     		φ = 0.00905995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12573849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.204285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00905995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.519097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68159 KachelY 65347 0.12573849 0.00905995 7.204285 0.519097
    Oben rechts KachelX + 1 68160 KachelY 65347 0.12578642 0.00905995 7.207031 0.519097
    Unten links KachelX 68159 KachelY + 1 65348 0.12573849 0.00901202 7.204285 0.516351
    Unten rechts KachelX + 1 68160 KachelY + 1 65348 0.12578642 0.00901202 7.207031 0.516351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00905995-0.00901202) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00905995-0.00901202) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12573849-0.12578642) × cos(0.00905995) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99995895893373 × 6371000     		do = 305.349497616701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12573849-0.12578642) × cos(0.00901202) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999959392022597 × 6371000     		du = 305.349629865596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00905995)-sin(0.00901202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99995895893373-0.999959392022597)×R²
    abs(0.12578642-0.12573849)×4.33088867435316e-07×R²
    4.79300000000016e-05×4.33088867435316e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.33088867435316e-07×40589641000000     		ar = 93242.1626614639m²