Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68156 / 65340
↖ ↑ ↗
← N  0.538322°
E  7.196045°		 ← 305.35 m → N  0.538322°
E  7.198791°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
N  0.535576°
E  7.196045°		 ← 305.35 m →
93 242 m²		 N  0.535576°
E  7.198791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519992828369141 y=0.498508453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519992828369141 × 217)
    floor (0.519992828369141 × 131072)
    floor (68156.5)     		tx = 68156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.498508453369141 × 217)
    floor (0.498508453369141 × 131072)
    floor (65340.5)     		ty = 65340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68156 / 65340 ti = "17/68156/65340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68156/65340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68156 ÷ 217
    68156 ÷ 131072     		x = 0.519989013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65340 ÷ 217
    65340 ÷ 131072     		y = 0.498504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519989013671875 × 2 - 1) × π
    0.03997802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12559468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.498504638671875 × 2 - 1) × π
    0.00299072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.00939563232553101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12559468} λ = 0.12559468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.00939563232553101))-π/2
    2×atan(1.00943990984204)-π/2
    2×0.790095910442843-π/2
    1.58019182088569-1.57079632675     		φ = 0.00939549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12559468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.196045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00939549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.538322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68156 KachelY 65340 0.12559468 0.00939549 7.196045 0.538322
    Oben rechts KachelX + 1 68157 KachelY 65340 0.12564261 0.00939549 7.198791 0.538322
    Unten links KachelX 68156 KachelY + 1 65341 0.12559468 0.00934756 7.196045 0.535576
    Unten rechts KachelX + 1 68157 KachelY + 1 65341 0.12564261 0.00934756 7.198791 0.535576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.00939549-0.00934756) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.00939549-0.00934756) × R
    4.79299999999998e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12559468-0.12564261) × cos(0.00939549) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999955862708517 × 6371000     		do = 305.348552147084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12559468-0.12564261) × cos(0.00934756) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999956311879136 × 6371000     		du = 305.348689306736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.00939549)-sin(0.00934756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999955862708517-0.999956311879136)×R²
    abs(0.12564261-0.12559468)×4.49170618366246e-07×R²
    4.79300000000016e-05×4.49170618366246e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×4.49170618366246e-07×40589641000000     		ar = 93241.8747007184m²