Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68155 / 65899
↖ ↑ ↗
← S  0.996959°
E  7.193298°		 ← 305.38 m → S  0.996959°
E  7.196045°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.999705°
E  7.193298°		 ← 305.38 m →
93 251 m²		 S  0.999705°
E  7.196045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519985198974609 y=0.502773284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519985198974609 × 217)
    floor (0.519985198974609 × 131072)
    floor (68155.5)     		tx = 68155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.502773284912109 × 217)
    floor (0.502773284912109 × 131072)
    floor (65899.5)     		ty = 65899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68155 / 65899 ti = "17/68155/65899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68155/65899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68155 ÷ 217
    68155 ÷ 131072     		x = 0.519981384277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65899 ÷ 217
    65899 ÷ 131072     		y = 0.502769470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519981384277344 × 2 - 1) × π
    0.0399627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12554674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.502769470214844 × 2 - 1) × π
    -0.0055389404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0174010945620804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12554674} λ = 0.12554674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0174010945620804))-π/2
    2×atan(0.982749430121215)-π/2
    2×0.776698055168025-π/2
    1.55339611033605-1.57079632675     		φ = -0.01740022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12554674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.193298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01740022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.996959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68155 KachelY 65899 0.12554674 -0.01740022 7.193298 -0.996959
    Oben rechts KachelX + 1 68156 KachelY 65899 0.12559468 -0.01740022 7.196045 -0.996959
    Unten links KachelX 68155 KachelY + 1 65900 0.12554674 -0.01744815 7.193298 -0.999705
    Unten rechts KachelX + 1 68156 KachelY + 1 65900 0.12559468 -0.01744815 7.196045 -0.999705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01740022--0.01744815) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01740022--0.01744815) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12554674-0.12559468) × cos(-0.01740022) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999848619991448 × 6371000     		do = 305.379504648843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12554674-0.12559468) × cos(-0.01744815) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999847784892519 × 6371000     		du = 305.379249588135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01740022)-sin(-0.01744815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999848619991448-0.999847784892519)×R²
    abs(0.12559468-0.12554674)×8.35098929119482e-07×R²
    4.79399999999963e-05×8.35098929119482e-07×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.35098929119482e-07×40589641000000     		ar = 93251.2665348843m²