Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68146 / 66201
↖ ↑ ↗
← S  1.826168°
E  7.168579°		 ← 305.21 m → S  1.826168°
E  7.171325°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.828913°
E  7.168579°		 ← 305.21 m →
93 160 m²		 S  1.828913°
E  7.171325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519916534423828 y=0.505077362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519916534423828 × 217)
    floor (0.519916534423828 × 131072)
    floor (68146.5)     		tx = 68146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505077362060547 × 217)
    floor (0.505077362060547 × 131072)
    floor (66201.5)     		ty = 66201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68146 / 66201 ti = "17/68146/66201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68146/66201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68146 ÷ 217
    68146 ÷ 131072     		x = 0.519912719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66201 ÷ 217
    66201 ÷ 131072     		y = 0.505073547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519912719726562 × 2 - 1) × π
    0.039825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12511531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505073547363281 × 2 - 1) × π
    -0.0101470947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0318780382473373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12511531} λ = 0.12511531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0318780382473373))-π/2
    2×atan(0.968624710042814)-π/2
    2×0.769461843151456-π/2
    1.53892368630291-1.57079632675     		φ = -0.03187264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12511531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.168579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03187264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.826168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68146 KachelY 66201 0.12511531 -0.03187264 7.168579 -1.826168
    Oben rechts KachelX + 1 68147 KachelY 66201 0.12516324 -0.03187264 7.171325 -1.826168
    Unten links KachelX 68146 KachelY + 1 66202 0.12511531 -0.03192055 7.168579 -1.828913
    Unten rechts KachelX + 1 68147 KachelY + 1 66202 0.12516324 -0.03192055 7.171325 -1.828913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03187264--0.03192055) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03187264--0.03192055) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12511531-0.12516324) × cos(-0.03187264) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999492110407512 × 6371000     		do = 305.206939803032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12511531-0.12516324) × cos(-0.03192055) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999490582500757 × 6371000     		du = 305.206473238324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03187264)-sin(-0.03192055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999492110407512-0.999490582500757)×R²
    abs(0.12516324-0.12511531)×1.52790675533865e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.52790675533865e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.52790675533865e-06×40589641000000     		ar = 93159.6500520313m²