Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68142 / 66142
↖ ↑ ↗
← S  1.664195°
E  7.157593°		 ← 305.30 m → S  1.664195°
E  7.160340°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.666940°
E  7.157593°		 ← 305.30 m →
93 187 m²		 S  1.666940°
E  7.160340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519886016845703 y=0.504627227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519886016845703 × 217)
    floor (0.519886016845703 × 131072)
    floor (68142.5)     		tx = 68142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504627227783203 × 217)
    floor (0.504627227783203 × 131072)
    floor (66142.5)     		ty = 66142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68142 / 66142 ti = "17/68142/66142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68142/66142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68142 ÷ 217
    68142 ÷ 131072     		x = 0.519882202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66142 ÷ 217
    66142 ÷ 131072     		y = 0.504623413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519882202148438 × 2 - 1) × π
    0.039764404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12492356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504623413085938 × 2 - 1) × π
    -0.009246826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.029049761169754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12492356} λ = 0.12492356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.029049761169754))-π/2
    2×atan(0.971368126849693)-π/2
    2×0.770875325278598-π/2
    1.5417506505572-1.57079632675     		φ = -0.02904568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12492356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.157593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02904568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.664195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68142 KachelY 66142 0.12492356 -0.02904568 7.157593 -1.664195
    Oben rechts KachelX + 1 68143 KachelY 66142 0.12497150 -0.02904568 7.160340 -1.664195
    Unten links KachelX 68142 KachelY + 1 66143 0.12492356 -0.02909359 7.157593 -1.666940
    Unten rechts KachelX + 1 68143 KachelY + 1 66143 0.12497150 -0.02909359 7.160340 -1.666940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02904568--0.02909359) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02904568--0.02909359) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12492356-0.12497150) × cos(-0.02904568) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999578203891997 × 6371000     		do = 305.296912611561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12492356-0.12497150) × cos(-0.02909359) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999576811361929 × 6371000     		du = 305.296487297034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02904568)-sin(-0.02909359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999578203891997-0.999576811361929)×R²
    abs(0.12497150-0.12492356)×1.39253006858908e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.39253006858908e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.39253006858908e-06×40589641000000     		ar = 93187.119162661m²