Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68137 / 66089
↖ ↑ ↗
← S  1.518682°
E  7.143860°		 ← 305.25 m → S  1.518682°
E  7.146606°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.521428°
E  7.143860°		 ← 305.25 m →
93 194 m²		 S  1.521428°
E  7.146606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519847869873047 y=0.504222869873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519847869873047 × 217)
    floor (0.519847869873047 × 131072)
    floor (68137.5)     		tx = 68137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504222869873047 × 217)
    floor (0.504222869873047 × 131072)
    floor (66089.5)     		ty = 66089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68137 / 66089 ti = "17/68137/66089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68137/66089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68137 ÷ 217
    68137 ÷ 131072     		x = 0.519844055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66089 ÷ 217
    66089 ÷ 131072     		y = 0.504219055175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519844055175781 × 2 - 1) × π
    0.0396881103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12468388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504219055175781 × 2 - 1) × π
    -0.0084381103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0265091054898911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12468388} λ = 0.12468388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0265091054898911))-π/2
    2×atan(0.973839176512387)-π/2
    2×0.772145162781043-π/2
    1.54429032556209-1.57079632675     		φ = -0.02650600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12468388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.143860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02650600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.518682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68137 KachelY 66089 0.12468388 -0.02650600 7.143860 -1.518682
    Oben rechts KachelX + 1 68138 KachelY 66089 0.12473181 -0.02650600 7.146606 -1.518682
    Unten links KachelX 68137 KachelY + 1 66090 0.12468388 -0.02655392 7.143860 -1.521428
    Unten rechts KachelX + 1 68138 KachelY + 1 66090 0.12473181 -0.02655392 7.146606 -1.521428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02650600--0.02655392) × R
    4.79200000000034e-05 × 6371000     		dl = 305.298320000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02650600--0.02655392) × R
    4.79200000000034e-05 × 6371000     		dr = 305.298320000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12468388-0.12473181) × cos(-0.02650600) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999648736548262 × 6371000     		do = 305.254767479323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12468388-0.12473181) × cos(-0.02655392) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999647465381707 × 6371000     		du = 305.254379313323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02650600)-sin(-0.02655392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999648736548262-0.999647465381707)×R²
    abs(0.12473181-0.12468388)×1.27116655479487e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.27116655479487e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.27116655479487e-06×40589641000000     		ar = 93193.7084480515m²