Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68136 / 66087
↖ ↑ ↗
← S  1.513191°
E  7.141113°		 ← 305.32 m → S  1.513191°
E  7.143860°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.515936°
E  7.141113°		 ← 305.32 m →
93 213 m²		 S  1.515936°
E  7.143860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519840240478516 y=0.504207611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519840240478516 × 217)
    floor (0.519840240478516 × 131072)
    floor (68136.5)     		tx = 68136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504207611083984 × 217)
    floor (0.504207611083984 × 131072)
    floor (66087.5)     		ty = 66087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68136 / 66087 ti = "17/68136/66087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68136/66087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68136 ÷ 217
    68136 ÷ 131072     		x = 0.51983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66087 ÷ 217
    66087 ÷ 131072     		y = 0.504203796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51983642578125 × 2 - 1) × π
    0.0396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12463594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504203796386719 × 2 - 1) × π
    -0.0084075927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0264132316906509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12463594} λ = 0.12463594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0264132316906509))-π/2
    2×atan(0.973932546649892)-π/2
    2×0.772193082902988-π/2
    1.54438616580598-1.57079632675     		φ = -0.02641016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12463594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.141113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02641016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.513191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68136 KachelY 66087 0.12463594 -0.02641016 7.141113 -1.513191
    Oben rechts KachelX + 1 68137 KachelY 66087 0.12468388 -0.02641016 7.143860 -1.513191
    Unten links KachelX 68136 KachelY + 1 66088 0.12463594 -0.02645808 7.141113 -1.515936
    Unten rechts KachelX + 1 68137 KachelY + 1 66088 0.12468388 -0.02645808 7.143860 -1.515936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02641016--0.02645808) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02641016--0.02645808) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12463594-0.12468388) × cos(-0.02641016) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999651271994809 × 6371000     		do = 305.319229490932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12463594-0.12468388) × cos(-0.02645808) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999650005419297 × 6371000     		du = 305.318842646169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02641016)-sin(-0.02645808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999651271994809-0.999650005419297)×R²
    abs(0.12468388-0.12463594)×1.26657551224874e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.26657551224874e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.26657551224874e-06×40589641000000     		ar = 93213.3887935858m²