Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68130 / 65762
↖ ↑ ↗
← S  0.620716°
E  7.124634°		 ← 305.34 m → S  0.620716°
E  7.127380°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  0.623462°
E  7.124634°		 ← 305.34 m →
93 240 m²		 S  0.623462°
E  7.127380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 65762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519794464111328 y=0.501728057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519794464111328 × 217)
    floor (0.519794464111328 × 131072)
    floor (68130.5)     		tx = 68130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501728057861328 × 217)
    floor (0.501728057861328 × 131072)
    floor (65762.5)     		ty = 65762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68130 / 65762 ti = "17/68130/65762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68130/65762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68130 ÷ 217
    68130 ÷ 131072     		x = 0.519790649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 65762 ÷ 217
    65762 ÷ 131072     		y = 0.501724243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519790649414062 × 2 - 1) × π
    0.039581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12434832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501724243164062 × 2 - 1) × π
    -0.003448486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0108337393141327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12434832} λ = 0.12434832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0108337393141327))-π/2
    2×atan(0.989224734286546)-π/2
    2×0.779981399700188-π/2
    1.55996279940038-1.57079632675     		φ = -0.01083353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12434832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.124634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01083353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.620716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68130 KachelY 65762 0.12434832 -0.01083353 7.124634 -0.620716
    Oben rechts KachelX + 1 68131 KachelY 65762 0.12439625 -0.01083353 7.127380 -0.620716
    Unten links KachelX 68130 KachelY + 1 65763 0.12434832 -0.01088146 7.124634 -0.623462
    Unten rechts KachelX + 1 68131 KachelY + 1 65763 0.12439625 -0.01088146 7.127380 -0.623462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01083353--0.01088146) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01083353--0.01088146) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12434832-0.12439625) × cos(-0.01083353) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99994131788781 × 6371000     		do = 305.344110711107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12434832-0.12439625) × cos(-0.01088146) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999940797498299 × 6371000     		du = 305.34395180391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01083353)-sin(-0.01088146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99994131788781-0.999940797498299)×R²
    abs(0.12439625-0.12434832)×5.20389510816344e-07×R²
    4.79300000000016e-05×5.20389510816344e-07×6371000²
    4.79300000000016e-05×5.20389510816344e-07×40589641000000     		ar = 93240.4732510293m²