Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68126 / 66198
↖ ↑ ↗
← S  1.817932°
E  7.113647°		 ← 305.27 m → S  1.817932°
E  7.116394°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.820678°
E  7.113647°		 ← 305.27 m →
93 199 m²		 S  1.820678°
E  7.116394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519763946533203 y=0.505054473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519763946533203 × 217)
    floor (0.519763946533203 × 131072)
    floor (68126.5)     		tx = 68126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505054473876953 × 217)
    floor (0.505054473876953 × 131072)
    floor (66198.5)     		ty = 66198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68126 / 66198 ti = "17/68126/66198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68126/66198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68126 ÷ 217
    68126 ÷ 131072     		x = 0.519760131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66198 ÷ 217
    66198 ÷ 131072     		y = 0.505050659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519760131835938 × 2 - 1) × π
    0.039520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12415657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505050659179688 × 2 - 1) × π
    -0.010101318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0317342275484772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12415657} λ = 0.12415657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0317342275484772))-π/2
    2×atan(0.968764018656093)-π/2
    2×0.769533712145341-π/2
    1.53906742429068-1.57079632675     		φ = -0.03172890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12415657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.113647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03172890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.817932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68126 KachelY 66198 0.12415657 -0.03172890 7.113647 -1.817932
    Oben rechts KachelX + 1 68127 KachelY 66198 0.12420451 -0.03172890 7.116394 -1.817932
    Unten links KachelX 68126 KachelY + 1 66199 0.12415657 -0.03177682 7.113647 -1.820678
    Unten rechts KachelX + 1 68127 KachelY + 1 66199 0.12420451 -0.03177682 7.116394 -1.820678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03172890--0.03177682) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03172890--0.03177682) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12415657-0.12420451) × cos(-0.03172890) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999496680679786 × 6371000     		do = 305.272013324232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12415657-0.12420451) × cos(-0.03177682) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999495159338412 × 6371000     		du = 305.271548667417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03172890)-sin(-0.03177682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999496680679786-0.999495159338412)×R²
    abs(0.12420451-0.12415657)×1.52134137376692e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.52134137376692e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.52134137376692e-06×40589641000000     		ar = 93198.9618992653m²