Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68122 / 66067
↖ ↑ ↗
← S  1.458278°
E  7.102661°		 ← 305.33 m → S  1.458278°
E  7.105408°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.461023°
E  7.102661°		 ← 305.33 m →
93 216 m²		 S  1.461023°
E  7.105408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519733428955078 y=0.504055023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519733428955078 × 217)
    floor (0.519733428955078 × 131072)
    floor (68122.5)     		tx = 68122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504055023193359 × 217)
    floor (0.504055023193359 × 131072)
    floor (66067.5)     		ty = 66067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68122 / 66067 ti = "17/68122/66067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68122/66067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68122 ÷ 217
    68122 ÷ 131072     		x = 0.519729614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66067 ÷ 217
    66067 ÷ 131072     		y = 0.504051208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519729614257812 × 2 - 1) × π
    0.039459228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12396482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504051208496094 × 2 - 1) × π
    -0.0081024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0254544936982498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12396482} λ = 0.12396482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0254544936982498))-π/2
    2×atan(0.974866740536429)-π/2
    2×0.772672290722562-π/2
    1.54534458144512-1.57079632675     		φ = -0.02545175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12396482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.102661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02545175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.458278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68122 KachelY 66067 0.12396482 -0.02545175 7.102661 -1.458278
    Oben rechts KachelX + 1 68123 KachelY 66067 0.12401276 -0.02545175 7.105408 -1.458278
    Unten links KachelX 68122 KachelY + 1 66068 0.12396482 -0.02549967 7.102661 -1.461023
    Unten rechts KachelX + 1 68123 KachelY + 1 66068 0.12401276 -0.02549967 7.105408 -1.461023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02545175--0.02549967) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02545175--0.02549967) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12396482-0.12401276) × cos(-0.02545175) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999676121695338 × 6371000     		do = 305.326819229105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12396482-0.12401276) × cos(-0.02549967) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999674901031363 × 6371000     		du = 305.326446406907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02545175)-sin(-0.02549967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999676121695338-0.999674901031363)×R²
    abs(0.12401276-0.12396482)×1.22066397556519e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.22066397556519e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.22066397556519e-06×40589641000000     		ar = 93215.7080684289m²