Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68117 / 66044
↖ ↑ ↗
← S  1.395126°
E  7.088928°		 ← 305.27 m → S  1.395126°
E  7.091675°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.397871°
E  7.088928°		 ← 305.27 m →
93 199 m²		 S  1.397871°
E  7.091675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519695281982422 y=0.503879547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519695281982422 × 217)
    floor (0.519695281982422 × 131072)
    floor (68117.5)     		tx = 68117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503879547119141 × 217)
    floor (0.503879547119141 × 131072)
    floor (66044.5)     		ty = 66044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68117 / 66044 ti = "17/68117/66044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68117/66044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68117 ÷ 217
    68117 ÷ 131072     		x = 0.519691467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66044 ÷ 217
    66044 ÷ 131072     		y = 0.503875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519691467285156 × 2 - 1) × π
    0.0393829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12372514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.00775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0243519450069885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12372514} λ = 0.12372514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0243519450069885))-π/2
    2×atan(0.975942171333828)-π/2
    2×0.773223394142477-π/2
    1.54644678828495-1.57079632675     		φ = -0.02434954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12372514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.088928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02434954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.395126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68117 KachelY 66044 0.12372514 -0.02434954 7.088928 -1.395126
    Oben rechts KachelX + 1 68118 KachelY 66044 0.12377307 -0.02434954 7.091675 -1.395126
    Unten links KachelX 68117 KachelY + 1 66045 0.12372514 -0.02439746 7.088928 -1.397871
    Unten rechts KachelX + 1 68118 KachelY + 1 66045 0.12377307 -0.02439746 7.091675 -1.397871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02434954--0.02439746) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02434954--0.02439746) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12372514-0.12377307) × cos(-0.02434954) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99970356459771 × 6371000     		do = 305.271509883803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12372514-0.12377307) × cos(-0.02439746) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99970239673523 × 6371000     		du = 305.271153262945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02434954)-sin(-0.02439746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99970356459771-0.99970239673523)×R²
    abs(0.12377307-0.12372514)×1.16786248038903e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.16786248038903e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.16786248038903e-06×40589641000000     		ar = 93198.8246913492m²