Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68117 / 66043
↖ ↑ ↗
← S  1.392380°
E  7.088928°		 ← 305.27 m → S  1.392380°
E  7.091675°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.395126°
E  7.088928°		 ← 305.27 m →
93 199 m²		 S  1.395126°
E  7.091675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519695281982422 y=0.503871917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519695281982422 × 217)
    floor (0.519695281982422 × 131072)
    floor (68117.5)     		tx = 68117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503871917724609 × 217)
    floor (0.503871917724609 × 131072)
    floor (66043.5)     		ty = 66043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68117 / 66043 ti = "17/68117/66043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68117/66043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68117 ÷ 217
    68117 ÷ 131072     		x = 0.519691467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66043 ÷ 217
    66043 ÷ 131072     		y = 0.503868103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519691467285156 × 2 - 1) × π
    0.0393829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12372514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503868103027344 × 2 - 1) × π
    -0.0077362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0243040081073685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12372514} λ = 0.12372514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0243040081073685))-π/2
    2×atan(0.97598895609708)-π/2
    2×0.773247355501165-π/2
    1.54649471100233-1.57079632675     		φ = -0.02430162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12372514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.088928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02430162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.392380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68117 KachelY 66043 0.12372514 -0.02430162 7.088928 -1.392380
    Oben rechts KachelX + 1 68118 KachelY 66043 0.12377307 -0.02430162 7.091675 -1.392380
    Unten links KachelX 68117 KachelY + 1 66044 0.12372514 -0.02434954 7.088928 -1.395126
    Unten rechts KachelX + 1 68118 KachelY + 1 66044 0.12377307 -0.02434954 7.091675 -1.395126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02430162--0.02434954) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02430162--0.02434954) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12372514-0.12377307) × cos(-0.02430162) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999704730164545 × 6371000     		do = 305.271865803658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12372514-0.12377307) × cos(-0.02434954) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99970356459771 × 6371000     		du = 305.271509883803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02430162)-sin(-0.02434954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999704730164545-0.99970356459771)×R²
    abs(0.12377307-0.12372514)×1.16556683460445e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.16556683460445e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.16556683460445e-06×40589641000000     		ar = 93198.9334600876m²