Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68109 / 66037
↖ ↑ ↗
← S  1.375905°
E  7.066955°		 ← 305.34 m → S  1.375905°
E  7.069702°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.378651°
E  7.066955°		 ← 305.34 m →
93 219 m²		 S  1.378651°
E  7.069702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519634246826172 y=0.503826141357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519634246826172 × 217)
    floor (0.519634246826172 × 131072)
    floor (68109.5)     		tx = 68109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503826141357422 × 217)
    floor (0.503826141357422 × 131072)
    floor (66037.5)     		ty = 66037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68109 / 66037 ti = "17/68109/66037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68109/66037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68109 ÷ 217
    68109 ÷ 131072     		x = 0.519630432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66037 ÷ 217
    66037 ÷ 131072     		y = 0.503822326660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519630432128906 × 2 - 1) × π
    0.0392608642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12334164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503822326660156 × 2 - 1) × π
    -0.0076446533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0240163867096481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12334164} λ = 0.12334164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0240163867096481))-π/2
    2×atan(0.976269711778527)-π/2
    2×0.773391124237495-π/2
    1.54678224847499-1.57079632675     		φ = -0.02401408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12334164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.066955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02401408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.375905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68109 KachelY 66037 0.12334164 -0.02401408 7.066955 -1.375905
    Oben rechts KachelX + 1 68110 KachelY 66037 0.12338958 -0.02401408 7.069702 -1.375905
    Unten links KachelX 68109 KachelY + 1 66038 0.12334164 -0.02406200 7.066955 -1.378651
    Unten rechts KachelX + 1 68110 KachelY + 1 66038 0.12338958 -0.02406200 7.069702 -1.378651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02401408--0.02406200) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02401408--0.02406200) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12334164-0.12338958) × cos(-0.02401408) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999711675837079 × 6371000     		do = 305.337678379157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12334164-0.12338958) × cos(-0.02406200) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999710524045133 × 6371000     		du = 305.337326592249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02401408)-sin(-0.02406200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999711675837079-0.999710524045133)×R²
    abs(0.12338958-0.12334164)×1.15179194637438e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.15179194637438e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.15179194637438e-06×40589641000000     		ar = 93219.0265597182m²