Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68107 / 66029
↖ ↑ ↗
← S  1.353939°
E  7.061462°		 ← 305.34 m → S  1.353939°
E  7.064209°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.356685°
E  7.061462°		 ← 305.34 m →
93 239 m²		 S  1.356685°
E  7.064209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519618988037109 y=0.503765106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519618988037109 × 217)
    floor (0.519618988037109 × 131072)
    floor (68107.5)     		tx = 68107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503765106201172 × 217)
    floor (0.503765106201172 × 131072)
    floor (66029.5)     		ty = 66029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68107 / 66029 ti = "17/68107/66029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68107/66029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68107 ÷ 217
    68107 ÷ 131072     		x = 0.519615173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66029 ÷ 217
    66029 ÷ 131072     		y = 0.503761291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519615173339844 × 2 - 1) × π
    0.0392303466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12324577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503761291503906 × 2 - 1) × π
    -0.0075225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0236328915126877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12324577} λ = 0.12324577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0236328915126877))-π/2
    2×atan(0.976644178322404)-π/2
    2×0.773582817428413-π/2
    1.54716563485683-1.57079632675     		φ = -0.02363069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12324577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.061462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02363069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.353939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68107 KachelY 66029 0.12324577 -0.02363069 7.061462 -1.353939
    Oben rechts KachelX + 1 68108 KachelY 66029 0.12329371 -0.02363069 7.064209 -1.353939
    Unten links KachelX 68107 KachelY + 1 66030 0.12324577 -0.02367862 7.061462 -1.356685
    Unten rechts KachelX + 1 68108 KachelY + 1 66030 0.12329371 -0.02367862 7.064209 -1.356685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02363069--0.02367862) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dl = 305.36203000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02363069--0.02367862) × R
    4.79300000000016e-05 × 6371000     		dr = 305.36203000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12324577-0.12329371) × cos(-0.02363069) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999720808237369 × 6371000     		do = 305.340467649273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12324577-0.12329371) × cos(-0.02367862) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.999719674575484 × 6371000     		du = 305.340121399753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02363069)-sin(-0.02367862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999720808237369-0.999719674575484)×R²
    abs(0.12329371-0.12324577)×1.1336618851443e-06×R²
    4.79399999999963e-05×1.1336618851443e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.1336618851443e-06×40589641000000     		ar = 93239.332194655m²