Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68106 / 66030
↖ ↑ ↗
← S  1.356685°
E  7.058716°		 ← 305.34 m → S  1.356685°
E  7.061462°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.359431°
E  7.058716°		 ← 305.34 m →
93 220 m²		 S  1.359431°
E  7.061462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519611358642578 y=0.503772735595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519611358642578 × 217)
    floor (0.519611358642578 × 131072)
    floor (68106.5)     		tx = 68106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503772735595703 × 217)
    floor (0.503772735595703 × 131072)
    floor (66030.5)     		ty = 66030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68106 / 66030 ti = "17/68106/66030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68106/66030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68106 ÷ 217
    68106 ÷ 131072     		x = 0.519607543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66030 ÷ 217
    66030 ÷ 131072     		y = 0.503768920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519607543945312 × 2 - 1) × π
    0.039215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12319783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503768920898438 × 2 - 1) × π
    -0.007537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0236808284123077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12319783} λ = 0.12319783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0236808284123077))-π/2
    2×atan(0.976597362150583)-π/2
    2×0.773558855683978-π/2
    1.54711771136796-1.57079632675     		φ = -0.02367862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12319783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.058716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02367862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.356685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68106 KachelY 66030 0.12319783 -0.02367862 7.058716 -1.356685
    Oben rechts KachelX + 1 68107 KachelY 66030 0.12324577 -0.02367862 7.061462 -1.356685
    Unten links KachelX 68106 KachelY + 1 66031 0.12319783 -0.02372654 7.058716 -1.359431
    Unten rechts KachelX + 1 68107 KachelY + 1 66031 0.12324577 -0.02372654 7.061462 -1.359431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02367862--0.02372654) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02367862--0.02372654) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12319783-0.12324577) × cos(-0.02367862) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999719674575484 × 6371000     		do = 305.340121399841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12319783-0.12324577) × cos(-0.02372654) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999718538854201 × 6371000     		du = 305.339774521328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02367862)-sin(-0.02372654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999719674575484-0.999718538854201)×R²
    abs(0.12324577-0.12319783)×1.13572128279671e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.13572128279671e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.13572128279671e-06×40589641000000     		ar = 93219.773159099m²