Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68105 / 66009
↖ ↑ ↗
← S  1.299022°
E  7.055970°		 ← 305.28 m → S  1.299022°
E  7.058716°		 →
↑
305.36 m
↓
↑
305.36 m
↓
S  1.301768°
E  7.055970°		 ← 305.28 m →
93 222 m²		 S  1.301768°
E  7.058716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519603729248047 y=0.503612518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519603729248047 × 217)
    floor (0.519603729248047 × 131072)
    floor (68105.5)     		tx = 68105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.503612518310547 × 217)
    floor (0.503612518310547 × 131072)
    floor (66009.5)     		ty = 66009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68105 / 66009 ti = "17/68105/66009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68105/66009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68105 ÷ 217
    68105 ÷ 131072     		x = 0.519599914550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66009 ÷ 217
    66009 ÷ 131072     		y = 0.503608703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519599914550781 × 2 - 1) × π
    0.0391998291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12314990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.503608703613281 × 2 - 1) × π
    -0.0072174072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0226741535202866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12314990} λ = 0.12314990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0226741535202866))-π/2
    2×atan(0.977580973199882)-π/2
    2×0.774062057943565-π/2
    1.54812411588713-1.57079632675     		φ = -0.02267221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12314990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.055970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02267221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.299022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68105 KachelY 66009 0.12314990 -0.02267221 7.055970 -1.299022
    Oben rechts KachelX + 1 68106 KachelY 66009 0.12319783 -0.02267221 7.058716 -1.299022
    Unten links KachelX 68105 KachelY + 1 66010 0.12314990 -0.02272014 7.055970 -1.301768
    Unten rechts KachelX + 1 68106 KachelY + 1 66010 0.12319783 -0.02272014 7.058716 -1.301768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02267221--0.02272014) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dl = 305.362029999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02267221--0.02272014) × R
    4.79299999999981e-05 × 6371000     		dr = 305.362029999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12314990-0.12319783) × cos(-0.02267221) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.999742996456083 × 6371000     		do = 305.283550876034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12314990-0.12319783) × cos(-0.02272014) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.999741908721806 × 6371000     		du = 305.283218723287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02267221)-sin(-0.02272014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999742996456083-0.999741908721806)×R²
    abs(0.12319783-0.12314990)×1.0877342770943e-06×R²
    4.79299999999877e-05×1.0877342770943e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×1.0877342770943e-06×40589641000000     		ar = 93221.9541255369m²