Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68098 / 66207
↖ ↑ ↗
← S  1.842639°
E  7.036743°		 ← 305.20 m → S  1.842639°
E  7.039490°		 →
↑
305.30 m
↓
↑
305.30 m
↓
S  1.845384°
E  7.036743°		 ← 305.20 m →
93 178 m²		 S  1.845384°
E  7.039490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519550323486328 y=0.505123138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519550323486328 × 217)
    floor (0.519550323486328 × 131072)
    floor (68098.5)     		tx = 68098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505123138427734 × 217)
    floor (0.505123138427734 × 131072)
    floor (66207.5)     		ty = 66207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68098 / 66207 ti = "17/68098/66207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68098/66207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68098 ÷ 217
    68098 ÷ 131072     		x = 0.519546508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66207 ÷ 217
    66207 ÷ 131072     		y = 0.505119323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519546508789062 × 2 - 1) × π
    0.039093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12281434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505119323730469 × 2 - 1) × π
    -0.0102386474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0321656596450577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12281434} λ = 0.12281434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0321656596450577))-π/2
    2×atan(0.968346152911261)-π/2
    2×0.769318106153261-π/2
    1.53863621230652-1.57079632675     		φ = -0.03216011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12281434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.036743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03216011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.842639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68098 KachelY 66207 0.12281434 -0.03216011 7.036743 -1.842639
    Oben rechts KachelX + 1 68099 KachelY 66207 0.12286227 -0.03216011 7.039490 -1.842639
    Unten links KachelX 68098 KachelY + 1 66208 0.12281434 -0.03220803 7.036743 -1.845384
    Unten rechts KachelX + 1 68099 KachelY + 1 66208 0.12286227 -0.03220803 7.039490 -1.845384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03216011--0.03220803) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dl = 305.298319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03216011--0.03220803) × R
    4.79199999999999e-05 × 6371000     		dr = 305.298319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12281434-0.12286227) × cos(-0.03216011) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999482908232523 × 6371000     		do = 305.204129808197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12281434-0.12286227) × cos(-0.03220803) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.999481366238124 × 6371000     		du = 305.203658941657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03216011)-sin(-0.03220803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999482908232523-0.999481366238124)×R²
    abs(0.12286227-0.12281434)×1.54199439872382e-06×R²
    4.79300000000016e-05×1.54199439872382e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.54199439872382e-06×40589641000000     		ar = 93178.2362279525m²