Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68092 / 66204
↖ ↑ ↗
← S  1.834403°
E  7.020264°		 ← 305.21 m → S  1.834403°
E  7.023010°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.837148°
E  7.020264°		 ← 305.21 m →
93 159 m²		 S  1.837148°
E  7.023010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519504547119141 y=0.505100250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519504547119141 × 217)
    floor (0.519504547119141 × 131072)
    floor (68092.5)     		tx = 68092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505100250244141 × 217)
    floor (0.505100250244141 × 131072)
    floor (66204.5)     		ty = 66204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68092 / 66204 ti = "17/68092/66204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68092/66204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68092 ÷ 217
    68092 ÷ 131072     		x = 0.519500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66204 ÷ 217
    66204 ÷ 131072     		y = 0.505096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519500732421875 × 2 - 1) × π
    0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505096435546875 × 2 - 1) × π
    -0.01019287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0320218489461975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12252672} λ = 0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0320218489461975))-π/2
    2×atan(0.968485421462163)-π/2
    2×0.769389974486935-π/2
    1.53877994897387-1.57079632675     		φ = -0.03201638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03201638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.834403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68092 KachelY 66204 0.12252672 -0.03201638 7.020264 -1.834403
    Oben rechts KachelX + 1 68093 KachelY 66204 0.12257465 -0.03201638 7.023010 -1.834403
    Unten links KachelX 68092 KachelY + 1 66205 0.12252672 -0.03206429 7.020264 -1.837148
    Unten rechts KachelX + 1 68093 KachelY + 1 66205 0.12257465 -0.03206429 7.023010 -1.837148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03201638--0.03206429) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dl = 305.234610000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03201638--0.03206429) × R
    4.79100000000052e-05 × 6371000     		dr = 305.234610000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12252672-0.12257465) × cos(-0.03201638) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.999487519484544 × 6371000     		do = 305.205537909387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12252672-0.12257465) × cos(-0.03206429) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.999485984694724 × 6371000     		du = 305.205069242852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03201638)-sin(-0.03206429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999487519484544-0.999485984694724)×R²
    abs(0.12257465-0.12252672)×1.53478982001243e-06×R²
    4.79299999999877e-05×1.53478982001243e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×1.53478982001243e-06×40589641000000     		ar = 93159.2218248123m²