Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68086 / 66211
↖ ↑ ↗
← S  1.853619°
E  7.003784°		 ← 305.27 m → S  1.853619°
E  7.006531°		 →
↑
305.23 m
↓
↑
305.23 m
↓
S  1.856364°
E  7.003784°		 ← 305.27 m →
93 178 m²		 S  1.856364°
E  7.006531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519458770751953 y=0.505153656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519458770751953 × 217)
    floor (0.519458770751953 × 131072)
    floor (68086.5)     		tx = 68086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.505153656005859 × 217)
    floor (0.505153656005859 × 131072)
    floor (66211.5)     		ty = 66211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68086 / 66211 ti = "17/68086/66211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68086/66211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68086 ÷ 217
    68086 ÷ 131072     		x = 0.519454956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66211 ÷ 217
    66211 ÷ 131072     		y = 0.505149841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519454956054688 × 2 - 1) × π
    0.038909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12223909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505149841308594 × 2 - 1) × π
    -0.0102996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0323574072435379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12223909} λ = 0.12223909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0323574072435379))-π/2
    2×atan(0.968160492662465)-π/2
    2×0.769222282225578-π/2
    1.53844456445116-1.57079632675     		φ = -0.03235176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12223909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.003784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03235176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.853619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68086 KachelY 66211 0.12223909 -0.03235176 7.003784 -1.853619
    Oben rechts KachelX + 1 68087 KachelY 66211 0.12228703 -0.03235176 7.006531 -1.853619
    Unten links KachelX 68086 KachelY + 1 66212 0.12223909 -0.03239967 7.003784 -1.856364
    Unten rechts KachelX + 1 68087 KachelY + 1 66212 0.12228703 -0.03239967 7.006531 -1.856364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03235176--0.03239967) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dl = 305.234609999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03235176--0.03239967) × R
    4.79099999999982e-05 × 6371000     		dr = 305.234609999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12223909-0.12228703) × cos(-0.03235176) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999476727454513 × 6371000     		do = 305.265919095638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12223909-0.12228703) × cos(-0.03239967) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.999475176604971 × 6371000     		du = 305.265445426269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03235176)-sin(-0.03239967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999476727454513-0.999475176604971)×R²
    abs(0.12228703-0.12223909)×1.55084954234219e-06×R²
    4.79400000000102e-05×1.55084954234219e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.55084954234219e-06×40589641000000     		ar = 93177.6514891211m²